已知幂级数
(-1)nn(n+1) xn .
(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；
(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .
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问答题（2022年北京理工大学）
答案解析
(1) ρ===1,所以，收敛半径R=1.当x=1时，(-1)n n(n+1)发散，当x=-1时，n(n+1)发散，所以，级数的收敛区间为(-1,1).令x=-t，有：(-1)n n(n+1) xn...
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已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.
已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).
已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.
证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).
已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.
计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.
设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.
设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.
函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。
求级数xn/(ln(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.
如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.
若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.
设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.
设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.