大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1988年幂级数)

计算题（1988年理工数学Ⅰ）

求幂级数(x-3)ⁿ/(n∙3ⁿ)的收敛域.

答案解析

因为ρ=(|an+1 |)/(|an |)==1/3，所以收敛半径为R=1/ρ=3，因此当|x-3|<3即0<x<6时，幂级数收敛.当x=0时，(0-3)n/(n∙3n )=(-1)...

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讨论

大学数学

n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【】

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

若函数y=f(x)可导，且f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设4阶矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4 ),B=(β,γ2,γ3,γ4)，其中α,β,γ2,γ3,γ4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4,|B|=1，则行列式|A+B|=________.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=，则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为：fX (x)=,fY(y)= 求Z=2X+Y的概率密度函数.

幂级数

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

设X1,X2,…,X16为来自总体N(μ,4)的简单随机样本.考虑假设检验问题：H0:μ≤10,H1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={X ̅≥11}，其中X ̅=1/16·Xi ，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为【】

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

无穷级数

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

解答如下问题：(1)证明：(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n)关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.(2)计算⁡(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n ).

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

叙述Egoroff定理.