大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1995年幂级数)

填空题（1995年理工数学Ⅰ）

幂级数n/(2ⁿ+(-3)ⁿ) x^2n-1的收敛半径R=________.

答案解析

√3

讨论

大学数学

设(a×b)∙c=2，则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=________.

d/dx xcost2dt=______________.

(1+3x)2/sinx=__________.

已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，设Z=X/3+Y/2.(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXZ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0.

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为，又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

设f(x)在x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且f(x)/x=0，证明级数f(1/n)绝对收敛.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

计算曲面积分∬S(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2 )，其中S是由曲面x2+y2=R2及平面z=R,z=-R(R>0)所围成的立体表面的外侧.

幂级数

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.

无穷级数

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=，则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______.

设函数f(x)=x2,0≤x<1，而S(x)=bnsinnπx,-∞<x<+∞，其中bn=2f(x)sinnπxdx,x=1,2,3,…，则S(-1/2)等于【】

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

设f(x)=，则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于__________.

设函数f(x)=πx+x2 (-π<x<π)的傅里叶级数展开式为a0/2+(ancosnx+bnsinnx)，其中系数b3的值为__________.

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.