计算题(1997年理工数学Ⅰ

计算曲线积分∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.

答案解析

令x=cost,y=sint,则z=2-cost+sint,积分曲线C的起点与终点对应的t值分别为t=2π,t=0.于是∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=-[2(sint+cost)...

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讨论

设D⊂R2是有界单连通闭区域,I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算,其中∂D1是D1的正向边界.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线,起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上,曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6),求曲线Γ的长度.

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求:F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段(t:0→π/4)所作的功.

设曲面:z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2,柱壁面:y=x2-5/9,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面:z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2,柱壁面:9y-9x2+5=0,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

设平面L是下半圆周y=-,则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1上第一卦限的点M(ξ,η,ζ),问当ξ,η,ζ取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.