大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1987年一阶线性微分方程)

问答题（1987年理工数学Ⅱ）

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|_x=√2 =0的解.

答案解析

原方程等价于dy/dx+1/x y=1.

由通解公式得y= (C+∫dx)=1/x(C+1/2 x²),

y|_x=√2=0⟹C=-1,

故所求解为y=1/2 x-1/x.

讨论

大学数学

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

求(cos√x)π/x

设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

微分方程

北京大学齐次微分方程

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

若连续函数f(x)满足关系式f(x)=f(t/2)dt+ln2，则f(x)等于【】

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

北京大学齐次微分方程

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期，A(t)为n×n的矩阵函数，f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组，满足初始条件：x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明：1.设x=φ(t)是(1)的解，则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω)，方程组(1)有惟一的周期解（周期为ω）的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

一阶线性微分方程

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

设矩阵A=,b=，则线性方程组Ax=b解的情况为【】