证明题(2005年重庆大学

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x),且在(a,b)内f''(x)>0,证明:对于任意两点x1,x2∈(a,b),恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

答案解析

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讨论

已知 =c(c≠0),求k和c.

=__________.

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数:y=f(x),z=g(x),t=h(x),其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出: (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令e10/3 - 1=2a,可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示:①首先,寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=?[其中,f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”:xl'=?[其中,f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后,考察函数f(x)的渐近性质.③最后,利用①②的结果,便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解].

设a,b,c,d皆为常数,cd≠0,说明并给出理由,当a,b,c,d满足什么条件时,f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.

设f(x)=1/x+lnx,求f(x)的最小值.

已知f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)≤0,证明:f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

若函数f(a)=1/(x(lnx)a+1) dx在a=a0处取得最小值,则a0=【 】

设函数f(x)=(x2+a) ex,若f(x)没有极值点,但曲线y=f(x)有拐点,则a的取值范围是【 】

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0),L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x);(Ⅱ)在L上求一点,使该点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积最小,并求此最小面积.