大学数学-考研试题(天津大学 2022年微分中值定理)

证明题（2022年天津大学）

设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e^-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得e^{ξ^2} f' (ξ)+2ξ³=0.

答案解析

构造函数：g(x)=f(x)-(x2+1)/ex^2 ，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且g(1)-g(0)=f(1)-2/e-f(0)+1=0.由Rolle定理知，∃ξ∈(0,1)...

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讨论

大学数学

设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

设f(x)在x=0处连续，且对任意的x∈R，有f(x)=f(3x)，证明：f(x)是常值函数.

证明数列{sinn}发散.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数，且有[a,b]⊂(a,b)，证明：1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

解答如下问题：(1)证明：(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n)关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.(2)计算⁡(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n ).

微分中值定理

已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g'' (x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)，试证：(1)在开区间(a,b)内对任意x有g(x)≠0；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f(ξ)/g(ξ) =f'' (ξ)/g'' (x).

设f:[0,1]→[0,1]是一个连续函数，证明：方程2x-f(t)dt=1在[0,1]中有且仅有一个零点.

求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).

证明：若f(x)在区间(a,b)内可导且无界，则其导函数f'(x)在(a,b)内也无界，但反之不然，举出例子.

已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .

中值定理与导数的应用

作函数y=6/(x2-2x+4)，并填写表.单调增加区间：单调减少区间：极值点：极值：凹区间：凸区间：拐点：渐近线：

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【】

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.