大学数学-考研试题(武汉大学 2022年函数项级数的一致收敛性)

证明题（2022年武汉大学）

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：

(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）

(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

答案解析

(1)对任意实数N>e3,|sin⁡(xy) dy|=| -cos⁡(xy)/x |=|(cos⁡(xe3)-cos⁡(xN))/x|≤2/x≤2/δ而1/(ln⁡(lny))关于 y单调递减且1/(ln⁡(lny))=0，对任意x∈[δ,+∞),1/(ln⁡(lny))⇉0所以，由狄利克雷判别法知，F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛.(2)使用柯...

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讨论

大学数学

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

已知S={(x,y,z)│x2+4y2+9z2=1,z≤0}取下侧，求∬S(yez+x)dydz+(zex+y)dzdx+(xcosxy+z)dxdy

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

函数项级数的一致收敛性

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

级数n!/nn e-n-x的收敛域为(a,+∞)，则a=________.

求证：(-1)n-1x2/(1+x2 )n 在R上一致收敛.

求证：x2/(1+x2 )n 收敛，但在R上不一致收敛.

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

无穷级数

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.