对于实数T>0，称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满

足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M₂ (Z)满足det⁡(A)≠0.

(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合

A^n Z²≔{Aⁿ v:v∈Z² }

是C|de t⁡(A) |^n/2-稠密的.

(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.

注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量，R²中的内积为标准内积，即〈v,w〉=v^t w.

(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形：R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)ⁿ，被击落的概率为1-(0.85)ⁿ，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。

问题部分：

(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?

(A)1      (B)2      (C)3      (D)4

(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?

(A)2    (B)4    (C)6    (D)8

几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有6座塔，它们的位置分別为A、B、C、D、E、F. 同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A、B、C、D处的四座塔，而看不到位于E和F的塔，已知：

(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合；

(2)A、B、C、D、E、F 中任意3点不共线；

(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置P和A、B共线，且A在线段PB上，那么该同学就看不到位于B处的塔.

请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学？

A、3

B、4

C、6

D、12

设函数f(x)连续可导，且f(0)=1,0<f'(x)<1/2.设{x_n}满足：x_n+1=f(n),(n=1,2,⋯)，证明：

(1)级数(x_n+1-x_n)绝对收敛.

(2)x_n存在，且0<x_n <2.

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微，且满足条件：

0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)

求证：存在ξ>0，使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².