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考研2022年北京师范大学( )

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ,其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

令u=x+y,v=x-y

则x=1/2 (u+v),y=1/2 (u-v).

根据题意,可得:0≤u≤1,-u<v<u,

∴原式=du ev/u∙1/2dv=1/2 u(e-e-1) du=(e-e-1)/4.

考研2022年北京师范大学( )

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

已知单位球的方程:x2+y2+z2=1.

显然,x2 y2 z2≥0,

∴当x,y,z有一个为0时,f(x,y,z)取到最小值0.

≤(x2+y2+z2)/3=1/3⟹x2 y2 z2≤1/27,

∴f(x,y,z)的最大值为1/27.

考研2022年北京师范大学( )

设f(x)在(0,1)可微,且有x2 f(x) dx=0,证明:存在θ∈(0,1),使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

令F(x)=xf(x),F' (x)=f(x)+xf'(x).

x2 f(x)dx=xF(x)dx=0

∴由积分中值定理知 ∃ξ∈(1/2,1),使得ξ∙F(ξ)∙1/2=0,即F(ξ)=0.

又∵F(0)=0,且F(x)在(0,ξ)上可导,

∴由Rolle中值定理,∃θ∈(0,ξ)⊂(0,1),使得F' (θ)=0,即f(θ)+θf' (θ)=0,

∴f' (θ)=-f(θ)/θ.

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计算 ∬x3dydz,其中∑:  x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0,取外侧.

定义S:z=0,x2/a2 +y2/b2 ≤1取下侧,由∑和S围成封闭区域V.

由Gauss公式:

x3  dydz+∬Sx2dydz=∬x3dydz=∭V3x2dxdydz

,J=abcr2 sinφ,0≤r≤1,0≤φ≤π/2,0≤θ≤2π,则原式化为:

3a2 r2  sin2⁡φ cos2⁡θ⋅abcr2 sinφdr

=3a3 bccos2⁡θ  dθsin3⁡φ  dφr4dr

=3a3 bc⋅π⋅2/3⋅1/5=2/5 a3 bcπ

考研2022年北京师范大学( )

已知z3-xyz=a3,求zxx,zyx.

(1)方程两端同时对x求偏导,有:

3z2 zx-yz-xyzx=0  ①

解得:zx=yz/(3z2-xy)

① 式两端再对x求偏导,有:

6z∙zx2+3z2∙zxx-yzx-xyzxx=0 

解得:zxx=(2yzx-6zzx2)/(3z2-xy)=(-2y3 xz)/(3z2-xy)3 .

(2)方程两端同时对y求偏导,有:

3z2 zy-xz-xyzy=0   ②

解得:zy=xz/(3z2-xy)

② 两端同时对x求偏导,有:

6zzx zy+3z2 zyx-z-xzx-yzy-xyzyx=0 

zyx=(z+xzx+yzy-6zzx zy)/(3z2-xy)=(z(3z2-xy)2+2xyz(3z2-xy)-6xyz3)/(3z2-xy)3