证明题(2022年北京市

如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD连接AC,OD

(1)求证:∠BOD=2∠A;

(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F,若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线。

答案解析

(1)设AB交CD于点H,连接OC,由题可知,OC=OD,∠OHC=∠OHD=90°.∵OH=0H,∴Rt△COH≌Rt△DOH(HL)∴∠COH=∠DOH,∴弧BC=弧BD,∴∠COB=∠BOD,∵∠COB=2∠A,∴∠BOD=2∠A;(2)连接AD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,同理可得:∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC,∵点H是CD的中点,点F是AC的中点,∴∠OAD=∠ODA=∠OA...

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讨论

已知AB为⨀O的直径,AB=6,C为⨀O上一点,连接CA,CB. (I)如图①,若C为弧AB的中点,求∠CAB的大小和AC的长;(Ⅱ)如图②,若AC=2,OD为⨀O的半径,且OD⊥CB,垂足为E,过点D作⨀O的切线,与AC的延长线相交于点F,求FD的长.

某款“不倒翁”(左图)的主视图(右图)中,PA,PB分别与(AMB) ̂所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9cm,∠P=40°,则(AMB) ̂的长是【 】

如图,△ABC内接于⨀O,AD是⨀O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是【 】

如图,△ABC内接于☉O中,BC=2,AB=AC,点D为弧AC上的动点,且cosB=√10/10.(1)求AB的长度;(2)如图(1),在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若不变,请求出AD·AE 的值;若变化,请说明理由.(3)如果(2),在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.

如图(左),已知在⊙O中,点C为劣弧AB上的中点,连接AC并延长至D,使CD=CA,连接DB并延长DB交⊙0于点E,连接AE.(1)求证:AE是⊙O的直径;(2)如图(右),连接EC,⊙O半径为5,AC的长为4,求阴影部分的面积之和.(结果保留T与根号)

如图,AB是⨀O的直径,点C是⨀O上异于A,B的点,连接AC,BC,点D在BA的延长线上,且∠DCA=∠ABC,点E在DC的延长线上,且BE⊥DC. (1)求证:DC是⨀O的切线;(2)若OA/OD=2/3,BE=3,求DA的长.

如图,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D,CD=1,则⊙O的直径为【 】

如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点EF分别在线段BC、AD上,且EF//CD,AB=AF,CD=DE.(1)求证:CF⊥FB;(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.

如图,AB为⨀O的弦,D,C为弧ACB的三等分点,AC//BE. (1)求证:∠A=∠E;(2)若BC=3,BE=5,求CE的长.

一根钢管放在V形架内,其横截面如图所示,钢管的半径是24cm,若ACB=60°,则劣弧AB的长是【 】

如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在BC,DC边上,添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是【 】

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心,将线段AD顺时针旋转α得到AE,连接BE,DE.(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示 线段BE,BM,MD之间的数量关系,并证明;(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系,并证明.

如图,四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,∠C=30°,AD=3,AB=2√3,DH⊥BC于点H,将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内,使点P与A重合,点B在PM上,其中∠Q=90°,∠QPM=30°,PM=4√3. (1)求证:△PQM≅△CHD;(2) △PQM从图1的位置出发,先沿着BC方向向右平移(图2),当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3),当边PM旋转50°时停止.①边PQ从平移开始,到绕点D旋转结束,求边PQ扫过的面积;②如图2点K在BH上,且BK=9-4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长,绕点D旅转的速度为每秒5°,求点K在△PQM区域(含边界)内的时长;③如图3在△PQM旋转过程中,设PQ,PM分别交BC于点E,F,若BE=d,直接写出CF的长(用含d的式子表示).

如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°.把ΔADN绕点A顺时针旋转90°得到ΔABE. (1)求证:ΔAEM≌ΔANM.(2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长.

已知:如图,E、F在AC上,AD//CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.

如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.(1)求证:△AOC≌△BOD;(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.

如图,AC与BD交于点O,OA=OD,∠ABO=∠DCO,E为BC延长线上一点,过点E作EF//CD,交BD的延长线于点F.(1)求证△AOB≌△DOC;(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长.

如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.

如图,点E、F在线段BC上,AB//CD,∠A=∠D,BE=CF,证明:AE=DF.

在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC延长DC到点E,使得CE=DC. (1)如图(左),延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF、EF,若AF⊥EF,求证:BD⊥AF.(2)连接AE,交BD的延长线干点H,连接CH,依题意补全图(右),若AB²=AE²+BD²,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.

如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,圆上的点A,B,C及∠DPF的一边上的点E,F均在格点上.(I)线段EF的长等于________;(Ⅱ)若点M,N分别在射线PD,PF上,满足∠MBN=90°且BM=BN.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点M,N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的(不要求证明)__________.

如图,在Rt ΔABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于1/2 AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为_________.

如图,正方形ABCD的边长为4,点E是边BC上一点,且BE=3,以点A为圆心,3为半径的圆分别交AB,AD于点F,G,DF与AE交于点H.并与⨀A交于点K,连接HG,HC.给出下列四个结论,其中正确的有________(填写所有正确结论的序号)(1) H是FK的中点; (2) △HGD≅△HEC;(3) S△AHG:S△DHC=9:16; (4) DK=7/5

如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB=________.

如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.(1)求证:∠BAD=∠CAD;(2)连接并延长OB,交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若⊙O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.

在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B',C'分别是BC的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”.(1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数,在线段B1C1,B2C2, B3C3中,⊙O的以点A为中心的“关联线段”是__________;(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0.若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;(3)在△ABC中,AB=1,AC=2.若BC是△O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长。

如图,⊙O是ΔABC的外接圆,其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,且AE=AB. (1)求∠ACB的度数;(2)若DE=2,求⊙O的半径.

如图,ΔABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是_______度.

如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD. (1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin⁡∠ BDC的值.

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.(1)求证:BF是⊙O的切线;(2)若⊙O的直径为4,CF=6,求tan∠CBF.