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中考2022年山东省青岛市( )
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s，同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1m/s. PQ交AC于点F，连接CP,EQ，设运动时间为t(s)(0<t<5).
解答下列问题：
(1)当EQ⊥AD时，求t的值;
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm^2)，求S与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t，使PQ//CD?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
(1)如图，在Rt△ABC中，AC=
=4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD=AB=5,DE=BC=3,AE=AC=4,∠AED=∠ACB=90°,
∵EQ⊥AD
∴∠AQE=∠AED=90°,∠EAQ=∠DAE,
∴△AQE~△AED
∴AQ/AE=AE/AD,即AQ/4=4/5,
∴AQ=16/5,
∴t=AQ/1=16/5.
(2)过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD=90°，即∠BAC+∠CAM=90°,
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠B=∠CAM,
∴△ABC~△CAM,
∴AC/CM=AB/AC，即4/CM=5/4，
∴CM=16/5,
∴S△ACD=1/2 AD∙CM=1/2×5×16/5=8,
∴SABCD=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+8=14，
∵∠PBN=∠ABC,∠PNB=∠ACB=90°,
∴△PBN~△ABC，
∴AB/PB=AC/PN，即5/t=4/PN,
∴PN=4/5 t,
∴S△BCP=1/2 BC∙PN=1/2×3×4/5 t=6/5 t,
∴S=SABCD-S△BCP-S△APQ=14-6/5 t-1/2(5-t)∙t
=1/2 t2-37/10 t+14.
(3)存在某一时刻t，使PQ//CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图，
由(2)知CM=16/5，
∴AM=
=12/5,
∴DM=AD-AM=13/5,
∵PQ//CD,
∴∠AQP=∠MDC,
∵∠PAQ=∠CMD=90°,
∴△APQ~△MCD,
∴AP/CM=AQ/DM，即∴(5-t)/(16/5)=t/(13/5)，
解得t=65/29.
中考2022年山东省青岛市( )
李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元。根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?
(1)根据题意得：y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4.
答：这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式y=-0.2x+8.4;
(2)设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：
w=[12-0.5(x-1)-(-0.2+8.4)]×10x=-3x2+41x=-3(x-41/6)2+1681/12,
∵-3<0,x为正整数，且|6-41/6|>|7-41/6|,
∴当x=7时，w取最大值，最大值为-3×(7-41/6)2+1681/12=140(元).
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
中考2022年山东省青岛市( )
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
(1)求证：ΔABF≌ΔCDE:
(2)连接AE，CF，已知______(从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，
请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.
条件①：∠ABD=30°;
条件②：AB=BC.
(注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分)
(1)∵BE=FD,
∴BE+EF=FD+EF,
∴BF=DE,
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠CDE,
在△ABF和△CDE中,
,∴△ABF≅△CDE(AAS).
(2)若选择条件①，四边形AECF是菱形，理由如下：
由(1)得，△ABF≅△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED，
∴AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°,BF=EF,
∴AE=1/2 BF,
同理，AF=1/2 BF,
∴AE=AF,
∴AECF是菱形.
若选择条件②，四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，
由(1)得，△ABF≅△CDE，
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO=CO,
∵AB=BC,∴BO⊥AC,即EF⊥AC,
∴AECF是菱形.
中考2022年山东省青岛市( )
如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y=-2/x的图像在第二象限相交于点A(-1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D,AD=CD.
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值.
(1)∵点A(-1,m)在反比例函数y=-2/x的图像上，
∴-m=-2，解得：m=2，
∴A(-1,2).
∵AD⊥x轴，
∴AD=2,OD=1,
∴CD=AD=2,
∴OC=CD-OD=1,
∴C(1,0),
分别把A(-1,2),C(1,0)代入y=kx+b中，
，解得
，
∴一次函数的表达式为：y=-x+1.
(2)在Rt∆ADC中，AC=
=2√2,
∴AC=CE=2√2,
当点E在C的左侧时，a=1-2√2，
当点E在C的右侧时，a=1+2√2，
∴a的值为1±2√2.
中考2022年山东省青岛市( )
【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形，
例如：如图①，在∆ABC和∆A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'、则∆ABC和∆A'B'C'是等高三角形。
【性质探究】
如图①，用S∆ABC和S∆A'B'C'分别表示∆ABC和∆A'B'C'的面积，
则S∆ABC=1/2 BC∙AD,S∆A' B' C'=1/2 B'C'∙A'D',
∵AD=A'D'
∴S∆ABC:S∆A'B'C'=BC:B'C'.
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3，DC=4，则S∆ABD:S∆ADC=________;
(2)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S∆ABC=1,则S∆BEC=______, S∆DEC=________.
(3)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点. 若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S∆ABC=a,则S∆DEC=________.
(1) S∆ABD:S∆ADC=BD:DC=3:4.
(2)∵ S∆BEC:S∆ABC=BE:AB=1:2
∴S∆BEC=1/2 S∆ABC=1/2;
∵ S∆CDE:S∆BEC=CD:BC=1:3
∴S∆CDE=1/3 S∆BEC=1/3×1/2=1/6.
(3)∵BE:AB=1:m,
∴S∆BCE=1/m S∆ABC=a/m,
∵CD:BC=1:n,
∴S∆CDE=1/n S∆BCE=1/n∙a/m=a/mn.