如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,同时,点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1m/s. PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为t(s)(0<t<5).
解答下列问题:
(1)当EQ⊥AD时,求t的值;
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm^2),求S与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使PQ//CD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)如图,在Rt△ABC中,AC==4,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,
∴AD=AB=5,DE=BC=3,AE=AC=4,∠AED=∠ACB=90°,
∵EQ⊥AD
∴∠AQE=∠AED=90°,∠EAQ=∠DAE,
∴△AQE~△AED
∴AQ/AE=AE/AD,即AQ/4=4/5,
∴AQ=16/5,
∴t=AQ/1=16/5.
(2)过P作PN⊥BC于N,过C作CM⊥AD于M,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,
∴∠BAD=90°,即∠BAC+∠CAM=90°,
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠B=∠CAM,
∴△ABC~△CAM,
∴AC/CM=AB/AC,即4/CM=5/4,
∴CM=16/5,
∴S△ACD=1/2 AD∙CM=1/2×5×16/5=8,
∴SABCD=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+8=14,
∵∠PBN=∠ABC,∠PNB=∠ACB=90°,
∴△PBN~△ABC,
∴AB/PB=AC/PN,即5/t=4/PN,
∴PN=4/5 t,
∴S△BCP=1/2 BC∙PN=1/2×3×4/5 t=6/5 t,
∴S=SABCD-S△BCP-S△APQ=14-6/5 t-1/2(5-t)∙t
=1/2 t2-37/10 t+14.
(3)存在某一时刻t,使PQ//CD,理由如下:
过C作CM⊥AD于M,如图,
由(2)知CM=16/5,
∴AM==12/5,
∴DM=AD-AM=13/5,
∵PQ//CD,
∴∠AQP=∠MDC,
∵∠PAQ=∠CMD=90°,
∴△APQ~△MCD,
∴AP/CM=AQ/DM,即∴(5-t)/(16/5)=t/(13/5),
解得t=65/29.
李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售,这种水果每箱10千克,批发商规定:整箱购买,一箱起售,每人一天购买不超过10箱;当购买1箱时,批发价为8.2元/千克,每多购买1箱,批发价每千克降低0.2元。根据李大爷的销售经验,这种水果售价为12元/千克时,每天可销售1箱;售价每千克降低0.5元,每天可多销售1箱.
(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式;
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完,请你计算,李大爷每天应购进这种水果多少箱,才能使每天所获利润最大?最大利润是多少?
(1)根据题意得:y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4.
答:这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式y=-0.2x+8.4;
(2)设李大爷每天所获利润是w元,
由题意得:
w=[12-0.5(x-1)-(-0.2+8.4)]×10x=-3x2+41x=-3(x-41/6)2+1681/12,
∵-3<0,x为正整数,且|6-41/6|>|7-41/6|,
∴当x=7时,w取最大值,最大值为-3×(7-41/6)2+1681/12=140(元).
答:李大爷每天应购进这种水果7箱,才能使每天所获利润最大,最大利润140元.
如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°.
(1)求证:ΔABF≌ΔCDE:
(2)连接AE,CF,已知______(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),
请判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.
条件①:∠ABD=30°;
条件②:AB=BC.
(注:如果选择条件①条件②分别进行解答,按第一个解答计分)
(1)∵BE=FD,
∴BE+EF=FD+EF,
∴BF=DE,
∵AB//CD,
∴∠ABF=∠CDE,
在△ABF和△CDE中,,∴△ABF≅△CDE(AAS).
(2)若选择条件①,四边形AECF是菱形,理由如下:
由(1)得,△ABF≅△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠BAF=90°,BF=EF,
∴AE=1/2 BF,
同理,AF=1/2 BF,
∴AE=AF,
∴AECF是菱形.
若选择条件②,四边形AECF是菱形,理由如下:
连接AC交BD于点O,
由(1)得,△ABF≅△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF//CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AO=CO,
∵AB=BC,∴BO⊥AC,即EF⊥AC,
∴AECF是菱形.
如图,一次函数y=kx+b的图像与x轴正半轴相交于点C,与反比例函数y=-2/x的图像在第二象限相交于点A(-1,m),过点A作AD⊥x轴,垂足为D,AD=CD.
(1)求一次函数的表达式;
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA,求a的值.
(1)∵点A(-1,m)在反比例函数y=-2/x的图像上,
∴-m=-2,解得:m=2,
∴A(-1,2).
∵AD⊥x轴,
∴AD=2,OD=1,
∴CD=AD=2,
∴OC=CD-OD=1,
∴C(1,0),
分别把A(-1,2),C(1,0)代入y=kx+b中,
,解得
,
∴一次函数的表达式为:y=-x+1.
(2)在Rt∆ADC中,AC==2√2,
∴AC=CE=2√2,
当点E在C的左侧时,a=1-2√2,
当点E在C的右侧时,a=1+2√2,
∴a的值为1±2√2.
【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形,
例如:如图①,在∆ABC和∆A'B'C'中,AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线,且AD=A'D'、则∆ABC和∆A'B'C'是等高三角形。
【性质探究】
如图①,用S∆ABC和S∆A'B'C'分别表示∆ABC和∆A'B'C'的面积,
则S∆ABC=1/2 BC∙AD,S∆A' B' C'=1/2 B'C'∙A'D',
∵AD=A'D'
∴S∆ABC:S∆A'B'C'=BC:B'C'.
【性质应用】
(1)如图②,D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则S∆ABD:S∆ADC=________;
(2)如图③,在ΔABC中,D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S∆ABC=1,则S∆BEC=______, S∆DEC=________.
(3)如图③,在ΔABC中,D,E分别是BC和AB边上的点. 若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S∆ABC=a,则S∆DEC=________.
(1) S∆ABD:S∆ADC=BD:DC=3:4.
(2)∵ S∆BEC:S∆ABC=BE:AB=1:2
∴S∆BEC=1/2 S∆ABC=1/2;
∵ S∆CDE:S∆BEC=CD:BC=1:3
∴S∆CDE=1/3 S∆BEC=1/3×1/2=1/6.
(3)∵BE:AB=1:m,
∴S∆BCE=1/m S∆ABC=a/m,
∵CD:BC=1:n,
∴S∆CDE=1/n S∆BCE=1/n∙a/m=a/mn.