如图1,关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点A(-3,0),C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2) DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在求出点P,若不存在请说明理由;
(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.
(1)∵二次函数经过点A(-3,0),C(0,3),
∵,解得b=-2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3.
(2)存在.
当P在∠DAB的平分线上时,如图1,作PM⊥AD,
设P(-1,m),则PM=PD∙sin∠ADE=(4-m)∙√5/5,PE=m,
∵PM=PE,
∴(4-m)∙√5/5=m,解得m=√5-1,
∴P(-1,√5-1);
当P在∠DAB的外角平分线上时,如图2,作PN⊥AD,
设P(-1,n),则PN=PD∙sin∠ADE=(4-n)∙√5/5,PE=-n,
∵PN=PE,
∴(4-n)∙√5/5=-n,解得n=-√5-1,
∴P(-1,-√5-1);
综上可知,存在满足条件的P点,其坐标为(-1,√5-1),(-1,-√5-1).
(3)∵抛物线的解析式y=-x²-2x+3,
∴B(1,0),
∴S△EBC=1/2 EB∙OC=3,
由2S△FBC=3S△EBC得2S△FBC=9/2,
过F作FQ⊥x轴于点H,交BC的延长线于Q,
过F作FM⊥y轴于点M,
∵S△FBC=S△BQH-S△CQF-S△BFH
=1/2 HB∙HQ-1/2 HB∙HF-1/2 QF∙FM
=1/2 HB(HQ-FH)-1/2 QF∙FM
=1/2 QF(BH-FM)=1/2 FQ∙OB=1/2 FQ=9/2,
∴FQ=9,
∴BC解析式为y=-3x+3.
设F(x0,-x0²-2x0+3),则-3x0+3+x0²+2x0-3=9,
解得x0=(1-√37)/2或x0=(1+√37)/2(舍去),
∴点F的坐标是((1-√37)/2,(3√37-15)/2).
假设小丽的眼睛距地面1.5米,当她站在C点时,测出旗杆A的仰角为 30°,如果向前走 10米到达点E,此时的仰角为60°,求旗杆AB的高度.
∵∠ADG=30°,∠AFG=60°,
∴∠DAF=30°,AF=DF=10,
在Rt△FGA中,
AG=AF⋅sin∠AFG=10×√3/2=5√3,
∴AB=1.5+5√3
答:旗杆AB的高度为(1.5+5√3)米.
如图,已知点A在反比例函数y=k/x(x<0)上,作Rt△ABC,点D为斜边AC的中点,连接DB并延长交y轴于点E.若△BCE的面积为8,则k=________.
16
∵△BCE的面积为8,
∴1/2 BC⋅OE=8
∴BC⋅OE=16,
∵点D为斜边AC的中点,
∴DB=DC,
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO,
又∵∠EOB=∠ABC,
∴△EOB∼△ABC,
∴BC/OB=AB/OE,
∴k=AB⋅OB=BC⋅OE=16.
二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图像如图所示,下列说法正确的个数是【 】
①a>0;②b>0;③c<0;④b²- 4ac>0.
A、1
B、2
C、3
D、4
∵抛物线开口向下,
∴a<0,所以①错误;
∵抛物线的对称轴在y轴右侧,
∴-b/2a>0,
∴b>0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,所以③错误;
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴∆=b²-4ac>0,所以④正确。
如图,直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,-4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移,此时顶点记为 E,与y 轴的交点记为F,
①求当△BEF与△BAO相似时,E点坐标;
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则△EFG的面积与△ACD的面积是否存在8倍的关系?若有请直接写出F点的坐标.
(1)根据题意,直线AB的解析式为y=2x+4,
令x=0,得y=4;令y=0,得x=-2,
∴A(-2,0),B(0,4).
根据A为抛物线的顶点,设抛物线的方程为y=a(x+2)²,
将点C(0,-4)代入上式,可得a=-1,
∴抛物线的方程为:y=-(x+2)².
(2)设点E在平移过程中的坐标为(m,2m+4),
则平移后抛物线的解析式为:y=-(x-m)²+2m+4,
∴F(0,-m²+2m+4).
①∵E为抛物线的顶点,
∴∠BEF≥90°,
若△BEF∼△BAO,则∠BEF=90°,
∴OA/EF=OB/BE,即2/EF=4/BE,可得BE=2EF.
如图,过点E作EH⊥y轴于点H,则H的坐标为:H(0,2m+4),
∴BH=|2m|,FH=|m² |.
在Rt△BEF中,由射影定理得:BE²=BH⋅BF,EF²=FH⋅BF,
∵BE=2EF,
∴BH=4FH,即|2m|=4|m² |,
若2m=-4m²,解得m=-1/2或m=0(与点B重合,舍去);
若2m=4m²,解得m=1/2或m=0(与点B重合,舍去),
此时点E位于第一象限,∠BEF为锐角,故此情形不成立.
②假设存在.
联立抛物线y=-(x+2)²与直线AB:y=2x+4,可求得D(-4,-4),
∴S△ACD=1/2×4×4=8.
∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系,
∴S△EFG=64或S△EFG=1.
联立抛物线y=-(x-m)²+2m+4与直线AB:y=2x+4,
求得G(m-2,2m),
∴点E与点G的横坐标相差2,即|xG-xE |=2.
当顶点E在y轴左侧时,如图,
S△EFG=S△BFG-S△BEF=1/2 BF⋅|xG |-1/2 BF⋅|xE |=BF.
∵B(0,4),F(0,-m²+2m+4),
∴BF=|-m²+2m|
∴|-m²+2m|=64或|-m²+2m|=1,
∴-m²+2m可取值:64,-64,1,-1.
当取值为64时,一元二次方程-m²+2m=64无解,
∴-m²+2m可取值:-64,1,-1.
∴F的坐标为:(0,-60),(0,3),(0,5).
同理,当顶点E在y轴右侧时,点F为(0,5).
综上所述,S△EFG与S△ACD存在8倍的关系,点F的坐标为:(0,-60),(0,3),(0,5).