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中考2018年广东省深圳市( )

如图,△ABC内接于☉O中,BC=2,AB=AC,点D为弧AC上的动点,且cosB=√10/10.

(1)求AB的长度;

(2)如图(1),在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若不变,请求出AD·AE 的值;若变化,请说明理由.

(3)如果(2),在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.

(1)过A作AF⊥BC,垂足为F,交⨀O于G,

∵AB=AC,AF⊥BC,

∴BF=CF,

在Rt△ABF中,AB=BF/cosB=√10;

(2)连接DG,

∵AF⊥BC,BF=CF,

∴AG为⨀O的直径,

∴∠ADG=90°,

∵∠DAG=∠FAE,∠ADG=∠AFE=90°,

∴△ADG∼△AFE,

∴AD/AF=AG/AE,

∴AD⋅AE=AF⋅AG,

∵AF=√(AB²-BC²)=3,

∵△AFB∼△ABG,

∴AF/AB=AB/AG,

∴AG=AB²/AF.

∴AD⋅AE=AF⋅AG=AF⋅AB²/AF=10.

(3)在BH上截取MH=DH,连接AM,AD,

∵AH⊥BD,MH=DH,

∴AM=AD,

∵∠ADM=∠ACB,AB=AC,

∴△ABC∼△AMD,

∴∠BAC=∠MAD,

∴△ABM≅△ACD(SAS),

∴BM=CD,

∴BH=BM+MH=DH+CD.

中考2018年广东省深圳市( )

阅读短文,解决问题.

如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.

如图(1),菱形AEFD为AABC的“亲密菱形”.

如图(2),在△ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于1/2 MN的长为半径作弧,两弧交点于P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FD//AC,FE//AB.

(1)求证:四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”;

(2)当AB=6,AC=12,∠BAC=45°时,求菱形AEFD的面积.

    

(1)由尺规作图可知:AF平分∠BAC,AD=AE,DF=EF,

∴∠DAF=∠EAF,

∵DF//AC,

∴∠DFA=∠EAF,

∴∠DFA=∠DAF,

∴AD=DF=EF=AE,

∴四边形ADFE为菱形,

∵∠BAC与LDAE重合,点F在BC上,

∴菱形ADFE为△ABC的“亲密菱形”.

(2)设菱形的边工为a,即AD=DF=a,

则BD=6-a,

∵DF//AC,

∴△BDF∽△BAC,

∴BD/BA=DF/AC,

即(6-a)/6=a/12,解得a=4.

过D作DG⊥AC,垂足为G,

在Rt△ADG中,∠DAG=45°,

∴DG=√2/2 AD=2√2,

∴SADFE=AE∙DG=8√2.

中考2018年广东省深圳市( )

在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD,BE相交于点F,且AF=4,EF=√2,则AC=________.

(8√10)/5

如图,

∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠ACB=90°,

∴2(∠2+∠4)=90°,

∴∠2+∠4=45°,

过点E作EG⊥AD于G,

在Rt△EFG中,EF=√2,

∴EG=FG=1,

∵AF=4,

∴AG=AF-FG=3,

由勾股定理得, AE=√(AG²+EG² )=√10,

连接CF,则CF平分∠ACB,

∴∠ACF=45°=∠AFE,

∵∠CAF=∠FAE,

∴△AEF∼△AFC,

∴AE/AF=AF/AC,

∴AC=AF²/AE=16/√10=8√10/5.

中考2018年广东省深圳市( )

如图,四边形ACDF 是正方形,∠CEA和∠ABF 都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是______.

8

∵四边形ACDF是正方形,

∴AC=AF,∠CAF=90°,

∴∠EAC+∠FAB=90°,

∵∠ABF=90°,

∴∠AFB+∠FAB=90°,

∴∠EAC=∠AFB,

又∵∠AEC=∠FBA,AC=AF,

∴△CAE≌△AFB,

∴EC=AB=4,

∴阴影部分的面积=1/2×AB×CE=8.

中考2018年广东省深圳市( )

一把直尺、60°的直角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是【 】

A、3

B、3√3

C、6

D、6√3

6√3

设三角板与圆的切点为C,连接OA,OB,

由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,

∴∠OAB=60°,

在Rt△ABO中,

OB=ABtan∠OAB=3√3,

∴光盘的直径为6√3.