如图,△ABC内接于☉O中,BC=2,AB=AC,点D为弧AC上的动点,且cosB=√10/10.
(1)求AB的长度;
(2)如图(1),在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若不变,请求出AD·AE 的值;若变化,请说明理由.
(3)如果(2),在点D的运动过程中,过A点作AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.
(1)过A作AF⊥BC,垂足为F,交⨀O于G,
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,
在Rt△ABF中,AB=BF/cosB=√10;
(2)连接DG,
∵AF⊥BC,BF=CF,
∴AG为⨀O的直径,
∴∠ADG=90°,
∵∠DAG=∠FAE,∠ADG=∠AFE=90°,
∴△ADG∼△AFE,
∴AD/AF=AG/AE,
∴AD⋅AE=AF⋅AG,
∵AF=√(AB²-BC²)=3,
∵△AFB∼△ABG,
∴AF/AB=AB/AG,
∴AG=AB²/AF.
∴AD⋅AE=AF⋅AG=AF⋅AB²/AF=10.
(3)在BH上截取MH=DH,连接AM,AD,
∵AH⊥BD,MH=DH,
∴AM=AD,
∵∠ADM=∠ACB,AB=AC,
∴△ABC∼△AMD,
∴∠BAC=∠MAD,
∴△ABM≅△ACD(SAS),
∴BM=CD,
∴BH=BM+MH=DH+CD.
阅读短文,解决问题.
如果一个三角形和一个菱形满足条件:三角形的一个角与菱形的一个角重合,且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上,则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.
如图(1),菱形AEFD为AABC的“亲密菱形”.
如图(2),在△ABC中,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于1/2 MN的长为半径作弧,两弧交点于P,作射线AP,交BC于点F,过点F作FD//AC,FE//AB.
(1)求证:四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”;
(2)当AB=6,AC=12,∠BAC=45°时,求菱形AEFD的面积.
(1)由尺规作图可知:AF平分∠BAC,AD=AE,DF=EF,
∴∠DAF=∠EAF,
∵DF//AC,
∴∠DFA=∠EAF,
∴∠DFA=∠DAF,
∴AD=DF=EF=AE,
∴四边形ADFE为菱形,
∵∠BAC与LDAE重合,点F在BC上,
∴菱形ADFE为△ABC的“亲密菱形”.
(2)设菱形的边工为a,即AD=DF=a,
则BD=6-a,
∵DF//AC,
∴△BDF∽△BAC,
∴BD/BA=DF/AC,
即(6-a)/6=a/12,解得a=4.
过D作DG⊥AC,垂足为G,
在Rt△ADG中,∠DAG=45°,
∴DG=√2/2 AD=2√2,
∴SADFE=AE∙DG=8√2.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD,BE相交于点F,且AF=4,EF=√2,则AC=________.
(8√10)/5
如图,
∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACB=90°,
∴2(∠2+∠4)=90°,
∴∠2+∠4=45°,
过点E作EG⊥AD于G,
在Rt△EFG中,EF=√2,
∴EG=FG=1,
∵AF=4,
∴AG=AF-FG=3,
由勾股定理得, AE=√(AG²+EG² )=√10,
连接CF,则CF平分∠ACB,
∴∠ACF=45°=∠AFE,
∵∠CAF=∠FAE,
∴△AEF∼△AFC,
∴AE/AF=AF/AC,
∴AC=AF²/AE=16/√10=8√10/5.
如图,四边形ACDF 是正方形,∠CEA和∠ABF 都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是______.
8
∵四边形ACDF是正方形,
∴AC=AF,∠CAF=90°,
∴∠EAC+∠FAB=90°,
∵∠ABF=90°,
∴∠AFB+∠FAB=90°,
∴∠EAC=∠AFB,
又∵∠AEC=∠FBA,AC=AF,
∴△CAE≌△AFB,
∴EC=AB=4,
∴阴影部分的面积=1/2×AB×CE=8.
一把直尺、60°的直角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是【 】
A、3
B、3√3
C、6
D、6√3
设三角板与圆的切点为C,连接OA,OB,
由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,
∴∠OAB=60°,
在Rt△ABO中,
OB=ABtan∠OAB=3√3,
∴光盘的直径为6√3.