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中考2022年山西省( )

问题情境:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°,将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处,并将三角板绕点D旋转,三角板的两边DE,DF分别与边AB,AC交于点M,N.猜想证明:

(1)如图①,在三角板旋转过程中,当点M为边AB的中点时,试判断四边形AMDN的形状,并说明理由.

问题解决:

(2)如图②,在三角板旋转过程中,当∠B=∠MDB时,求线段CN的长;

(3)如图③,在三角板旋转过程中,当AM=AN时,直接写出线段AN的长.

(1)四边形AMDN为矩形.理由如下:

∵M为AB的中点,D为BC的中点,

∴MD//AC

又AC⊥AB,

∴MD⊥AB,∠AMD=90°

∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°

∴四边形AMDN为矩形.

(2)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,

∴BC=10,

∵D是BC的中点,

∴CD=1/2 BC=5.

∵∠MDB+∠1=90°,∠MDB=∠B,∠B+∠C=90°

∴∠1=∠C

∴ND=NC.

过点N作NG⊥BC于点G,

则CG=1/2 CD=5/2.

易知△CGN∼△CAB,

∴CG/CA=CN/CB,解得: CN=25/8.

(3)延长ND至H,使DH=DN,连接MH,MN,BH,

∵MD⊥HN,∴MN=MN,

∵D是BC的中点,∴BD=DC,

又∵∠BDH=∠CDN

∴△BDH≅△CDN,

∴BH=CN,∠DBH=∠C,

∵∠BAC=90°,∠C+ABC=90°,

∴∠DBH+∠ABC=90°,

∴∠MBH=90°,

设AM=AN=x,则BM=6-x,BH=CN=8-x,MN=MN=√2 x,

在Rt△BMH中,BM2+BH2=MH2,

∴(6-x)2+(8-x)2=(√2 x)2,解得x=25/7,

∴线段AN的长为25/7.

中考2022年山西省( )

随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度,某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24m到达点F,测得点E处的俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.

(结果精确到1m.参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,√3≈1.73).

如图,延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点H,

则AG=60m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°,

在Rt△AGO中,∠AOG=70°,

∴OG=AG/tan70°≈60/2.75≈21.8(m)

∵∠HFE是△OFE的一个外角,

∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°

∴OF=EF=24m,

在Rt△EFH中,∠HFE=60°,

∴FH=EF∙cos60°=24×1/2=12(m)

∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(M)

∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.

中考2022年山西省( )

如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.

(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD干点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母).

(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.

(1)作图如下:

 

(2) AE=CF,证明如下:

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD//BC,

∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,

∵EF是AC的垂直平分线,

∴AO=CO,

∴△AOE≅△COF(AAS),

∴AE=CF.

中考2022年山西省( )

如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN〦EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为________.

4√34

如图,连接AE,AF,EN,

∵四边形ABCD为正方形,

∴AB=AD,BC=CD,∠ABE=∠ADF=90°,

∵BE=DF,

∴△ABE≅△ADF(SAS)

∴∠BAE=∠DAF,AE=AF,

∴∠EAF=90°,

∴△EAF为等腰直角三角形,

∵AN⊥EF,

∴EM=FM,∠EAM=∠FAM=45°,

∴△AEM≅△AFM(SAS),△EMN≅△FMN(SAS),

∴EN=FN,

设DN=x,

∵BE=DF=5,CN=8,

∴CD=CN+ND=x+8,

∴EN=FN=DN+DF=x+5,CE=BC-BE=CD-BE=X+8-5=X+3,

在Rt△ECN中,由勾股定理得:

CN2+CE2=EN2,即82+(x+3)2=(x+5)2,解得x=12,

∴AB=CD=x+8=20,EN=x+5=17,

∴AN===4√34.

中考2022年山西省( )

如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在(AB) ̂上的C处,图中阴影部分的面积为【 】

A、3π-3√3

B、3π-9√3/2

C、2π-3√3

D、6π-9√3/2

3π-9√3/2

如图,连接OC交AB于D,

根据题意有:

AC=AO=OB=BC,

∴四边形AOBC是菱形,△AOC,△BOC为等边三角形,

∴∠CAO=∠AOC=60°,∠AOB=120°,

∵AC=3,

∴OC=3,AD=√3/2 AC=3√3/2,AB=2AD=3√3,

∴S阴影=S扇形-S菱形=120π×32/360-1/2×3×3√3=3π-9√3/2.