高中数学-竞赛试题(北京市 2023年单调性)

填空题（2023年北京市）

设实数x,y满足，则x+y=__________.

答案解析

-1

【解析】

解答过程见word版

讨论

函数的性质

下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是【】

已知 y = f(x) 是奇函数, 当 x ⩾ 0 时, f(x) = x2/3 , 则 f(−8) 的值是______.

下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0,π/2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数【】

F(x)=(1+)f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)【】

定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果 f(x)=lg⁡(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么【】

设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图像为如图所示的线段AB,则在区间[1,2]上,f(x)=__________.

设f(x)是定义R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x_1,x_2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2 )=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0.（Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)；（Ⅱ）证明f(x)是周期函数；（Ⅲ）记an=f(2n+1/2n)，求 (lnan).

×(-6/11)+0.25-(-2)3÷(-)2.

若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则f(k)=【】

己知函数f(x)=1/(1+2x)，则对任意实数x，有【】

单调性

根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=-x3 + 1在(-∞,+∞)是减函数.

如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么【】

定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间├ [0,+∞)上的图像与f(x)的图像重合.设a>b>0,给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a).其中成立的是【】

下列函数中是增函数的为【】

以下哪个函数既是奇函数，又是减函数【】

已知c>0.设P：函数y=cx在R上单调递减.Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

已知函数 f(x) = 2ln x + 1.(1) 若 f(x) ⩽ 2x + c, 求 c 的取值范围;(2) 设 a > 0, 讨论函数 g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) 的单调性.

已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)【】

设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题：①若f(x)单调递增, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减, g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减, g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减;其中，正确的命题是【】

已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1/a+1/b<e.

函数

已知函数f(x)=cosαx-ln⁡(1-x²)，若x=0是f(x)的极大值点，求α的取值范围.

已知函数f(x)=4x+log2⁡x，则f(1/2)=______.

设a>0，函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1,f(x1 ))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3,f(x3 ))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a)，若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0,1/2].其中所有正确结论的序号是____________.

已知集合A={1,2,3}，映射f:A→A，且满足对任意x∈A，有f(f(x))≥x，且这样的f有________个.

已知方程式2x³+x²+3x+5=0之根为a,b,c，试用变换方程式法求以a(1/b+1/c),b(1/c+1/a),c(1/a+1/b)为根之方程式.

讨论方程式y=(x²+2x+3)/(2x²+3x+4)并绘其轨迹.

解方程式x5-5x4-5x3+25x2+4x-20=0，已知各根为a,-a,b,-b,c等形式.

鸡蛋每个 80 元，鹅蛋每个 90 元，鸭蛋每个 70 元，用 9700 元买三种蛋共 120个，求各种蛋的个数.

解下列联立方程式x² - 4y² +x + 3y = 2x -y = 1

若x1,x2为方程式2x2-5x+3=0之二根，试求以x1/x2 与x2/x1 为根之方程式.