已知函数 和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
已知函数 和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明:存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
(1)f(x)=ex-ax的定义域为 ,而f' (x)=ex-a,若a≤0,则f' (x)>0,此时f(x)无最小值,故a>0.g(x)=ax-lnx的定义域为(0,+∞),而g' (x)=a-1/x=(ax-1)/x.当x<lna时,f' (x)<0,故f(x)在(-∞,lna )上为减函数,当x>lna时,f' (x)>0,故f(x)在(lna,+∞)上为增函数,故f(x)(lna ) lnamin:当0<x<1/a时,g' (x)<0,故g(x)在(0,1/a)上为减函数,当x>1/a时,g' (x)>0,故g(x)在 (1/a,+∞)上为增函数,故g(x)(1/a) ln1/amin:因为f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,故1-ln1/a=a-a lna,整理得到(a-1)/(1+a)=lna,其中a>0,设g(a)=(a-1)/(1+a)-lna,a>0,则g' (a)=2/(1+a)2 -1/a=(-a2-1)/(a(1+a)2 )≤0,故g(a)为(0,+∞)上的减函数,而g(1)=0,故g(a)=0的唯一解为a=1,故(1-a)/(1+a)=lna的解为a=1.综上,a=1.(2)由(1)可得f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的最小值为1-ln1=1-ln(1/1)=1.当b>1时,考虑ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数.设S(x)=ex-x-b,S' (x)=ex-1,当x<0时,S' (x)<0,当x>0时,S' (x)>0,故S(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,所以S(x)(0)min,而S(-b)=e-b>0,S(b)=eb-2b,设u(b)=eb-2b,其中b>1,则u' (b)=eb-2>0,故u(b)在(1,+∞)上为增函数,故u(b)>u(1)=e-2>0,故S(b)>0,故S(x)=ex-x-b有两个不同的零点,即ex-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-b,T' (x)=(x-1)/x,当0<x<1时,T' (x)<0,当x>1时,T' (x)>0,故T(x)...
查看完整答案设微分方程xdy-(y2-4y)dx=0(x>0),y(1)=2的解为y(x),函数y=y(x)的图像斜率恒不为0,则10y(√2)的值为________.
已知函数f(x)=a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+3/2.
已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为【 】
若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值,则【 】
曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.
已知曲线y=x3-6x2+11x-6. 在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.
已知函数 f(x) = x3 − kx + k2.(1) 讨论 f(x) 的单调性;(2) 若 f(x) 有三个零点, 求 k 的取值范围.
已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)【 】
如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是【 】
根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3 + 1在(-∞,+∞)是减函数.
如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么【 】
已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<1/a+1/b<e.