证明题(2006年全国高中数学联赛

设f(x)=x2+a,记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯,M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明:M=[-2,1/4].

答案解析

记an=fn (0)⟹a1=f(0)=a,an=f(an-1 )=an-12+a.当a<-2时,易知|a1 |=|a|>2,不满足题意;当a∈[-2,0]时,用数学归纳法证明:|an |≤|a|.n=1时显然成立.假设n=k时,结论成立,即|ak |≤|a|.n=k+1时,ak+1=ak2+a≤a2+a≤-2a+a=-a⟹|ak+1 |≤|a|.即n=k+1时结论也成立.由归纳法原理,有|an |≤|a|;当a∈(0,1/4]时,用数学归纳法证明:|an |≤1/2.n=1时显然成立.假设n=k时,结论成立,即...

查看完整答案

讨论

设a>2,给定数列{xn},其中x1 = a,xn+1=(xn2)/(2(xn-1)) (n=1,2,…),求证:(1) xn>2,且xn+1/xn < 1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么xn ≤ 2+1/2n-1 (n=1,2,…);(3) 如果a>3,那么当n ≥ (lga/3)/(lg4/3)时,必有xn+1<3.

设f(x)=lg (1+2x+⋯+(n-1)x+nx a)/n,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;(Ⅱ)如果a∈(0,1],证明:2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.

用数学归纳法证明下列恒等式 1³+2³+3³+⋯+n³=[n(n+1)/2]²

Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and refection) to place the elements of S around a circle such that the product of any two neighbours is of the form x2+x+k for some positive integer x. 译文:给定正整数 k,S是一个由有限个奇素数构成的集合.证明:至多只有一种方式(旋转或对称后相同视为同种方式)可以将S中的元素排成一个圆周,且满足任意两个相邻元素的乘积均可以写成x2+x+k的形式 (其中x为正整数) .

用数学归纳法求下列级数1/(1×2)+1/(2×3 )+1/(3×4)+⋯至n项之和.

在直棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=π/2,AB=AC=AA1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的不动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为【 】

已知集合所以A={x│5x-a≤0},B={x│6x-b>0},a,b∈N,且A∩B∩N={2,3,4},则整数对(a,b)的个数为【 】.

已知△ABC,若对任意t∈R,|(BA)→-t(BC)→ |≥|(AC)→|,则△ABC一定为【 】。

设logx⁡(2x2+x-1)>logx⁡2-1,则x的取值范围为【 】.

设f(x)=x2+a,记f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=2,3,⋯,M={a∈R│对所有正整数n,|fn(0)|≤2}.证明:M=[-2,1/4].