高中数学-竞赛(全国高中数学联赛 2006年三角函数及性质)

填空题（2006年全国高中数学联赛）

设f(x)=sin⁴⁡x-sinxcosx+cos⁴⁡x，则f(x)的值域是__________________.

答案解析

0≤f(x)≤9/8∵f(x)=sin4⁡x-sinxcosx+cos4⁡x=1-1/2 sin2x-1/2 sin2⁡2x=9/8-1/2 (sin2x+1/2)2，∴min⁡f(x)=9/8-1...

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讨论

三角函数

求方程 + sinx = 0在[0,2π)上的解.

已知sinα=4/5，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于【】

arctan 1/3 + arctan 1/2的值是__________.

设5π<θ<6π,cos(θ/2)=a，那么sin(θ/4)等于【】

函数y=sin⁡x，x∈[π/2,3π/2]的反函数为【】

满足sin⁡(x - π/4)≥1/2的x的集合是【】

方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是【】

若0<α<1，在[0,2π]上满足sinx≥α的x的范围是【】

设θ是第二象限的角,则必有【】

函数y=arccos⁡(sinx)(- π/3<x<2π/3)的值域是【】

三角函数及性质

已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是【】

函数f(x)=M sin⁡(ωx+φ) (ω>0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M，则函数g(x)=M cos⁡(ωx+φ)在[a,b]上【】

若f(x)sin⁡x是周期为π的奇函数，则f(x)可以是【】

若sinα>tanα>cotα(-π/2<a<π/2)，则α∈【】

若sinθcosθ>0，则θ在【】

求函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x的最小正周期.

函数f(x)=sin x/3+cos x/3的最小正周期和最大值分别是【】

已知函数f(x)=cosx-cos2x，则该函数【】

已知f(x)=3sinx+2，对任意的x1∈[0,π/2]，都存在x2∈[0,π/2]，使得f(x1)=2f(x2+θ)+2成立，则下列选中θ可能的值是【】

(tg(-120°)∙cos⁡(-240°)∙cos480°)/(tg(-60°)∙sin⁡(-105°))

函数的极值与最值

在研究某市交通情况时, 道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间, 车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度. 现定义交通流量为 v=q/x(x, q 分别是道路密度和车辆密度, 且 x ∈(0, 80]). 据调查某路段的交通流量有如下规律:，(k > 0).求: (1) 若交通流量 v 大于 95, 求 x 的取值范围;(2) 已知道路密度为 80 时, 交通流量为 50. 问 x 多少的时候 q 最大?

已知 5x2y2 + y4 = 1 (x, y ∈ R), 则 x2 + y2 的最小值是________.

在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____________.

甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本速度(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流人,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问:当a，b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).当a=1/2时，求函数f(x)的最小值.

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画画的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[2/3,3/4]，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张面积最小？

下列函数中最小值为4的是【】

若a>0,b>0，则1/a+a/b2 +b的最小值为__________.

已知a>0，函数f(x)=ax-xex.(1)求函数y=f(x)在点(0,f(0))处的切点的方程；(2)证明函数f(x)存在唯一极值点；(3)若存在a，使得f(x)≤a+b对任意的x∈R成立，求实数b的取值范围.