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竞赛2023年北京市( )
已知x是一个锐角，那么8/sinx+1/cosx的最小值是__________.
5√5
解答过程见word版
竞赛2023年北京市( )
已知函数f(x)=sinωx+sin2x，其中ω∈N+,ω≤2023.若f(x)<2恒成立，则满足题设的常数ω的个数为________.
1770
解答过程见word版
高考2023年北京市( )
设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω>0,|φ|<π/2).
(1)若f(0)=-√3/2，求φ的值.
(2)已知f(x)在区间[-π/3,2π/3]上单调递增，f(2π/3)=1，再从条件①、②、③中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值.
条件①：f(π/3)=√2；
条件②：f(-π/3)=-1；
条件③：f(x)在区间[-π/2,-π/3]上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)由题意得f(0)=sin(ω∙0)cosφ+cos(ω∙0)sinφ=sinφ=-√3/2,
∵|φ|<π/2,∴φ=-π/3.
(2)由f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ,ω>0,|φ|<π/2化简得：
f(x)=sin(ωx+φ),ω>0,|φ|<π/2，
∴f(x)的最大值为1，最小值为-1.
若选条件①，有f(π/3)=√2>1，矛盾，
故条件①不能使函数f(x)存在；
若选条件②，∵f(x)在[-π/3,2π/3]上单调递增，且f(2π/3)=1,f(-π/3)=-1，
∴T/2=2π/3-(-π/3)=π
∴T=2π,ω=2π/T=1,
∴f(x)=sin(x+φ).
又∵f(-π/3)=sin(-π/3+φ)=-1,
∴-π/3+φ=-π/2+2kπ,k∈Z，得φ=-π/6+2kπ,
∵|φ|<π/2，∴φ=-π/6.
∴ω=1,φ=-π/6；
若选条件③，∵f(x)在[-π/3,2π/3]上单调递增，在[-π/2,-π/3]上单调递减，
∴f(x)在x=-π/3处取得最小值-1，即f(-π/3)=-1.
以下解法与条件②相同.
高考2023年北京市( )
已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=______，β=______.
9π/4 π/3
高考2023年新高考Ⅱ( )
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图A,B是直线y=1/2与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=π/6，则f(π)=________.
-√3/2
设A(x1,1/2),B(x2,1/2)，则x2-x1=π/6.
由sinx=1/2得，x=π/6+2kπ或x=5π/6+2kπ,k∈z.
由函数图像知，ωx2+φ-(ωx1+φ)=5π/6-π/6=2π/3，即ω(x2-x1 )=2π/3，
∴ω=4.
∵f(2π/3)=sin(8π/3+φ)=0，
∴8π/3+φ=kπ，得φ=-8π/3+kπ,k∈z.
∴f(x)=sin(4x-8π/3+kπ)=sin(4x-2π/3+kπ)，
∴f(x)=sin(4x-2π/3)或f(x)=-sin(4x-2π/3)，
又f(0)<0，∴f(x)=sin(4x-2π/3)，
∴f(π)=sin(4π-2π/3)=-√3/2.