问答题(2020年辽宁省

如图,抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)过点O(0,0)和A(6,0),点B是抛物线的顶点,点D是x轴下方抛物线上的一点,连接OB,OD.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①,当∠BOD=30°时,求点D的坐标;

  

(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段OD于点E,点F是线段OB上的动点(点F不与点O和点B重合,连接EF,将ΔBEF沿EF折叠,点B的对应点为点B,ΔEFB'与ΔOBE的重叠部分为ΔEFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,H为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由.

答案解析

(1)把点O(0,0)和A(6,0)分别代入y=ax2-2 x+c中,得解得∴抛物线的解析式为y=/3 x2-2 x.(2)如图,设抛物线的对称轴与x轴相交于点M,与OD相交于点N∵y=/3 x2-2 x=/3(x-3)2-3∴顶点B(3,-3),对称轴与x轴的交点M(3,0)∴OM=3,MB=3∵在Rt ΔOMB中,tan⁡∠ MOB=BM/OM=(3)/3=∴∠MOB=60°∵∠BOD=30°∴∠MOD=∠MOB-∠BOD=60°-3...

查看完整答案

讨论

如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0°<α<180°),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合).作射线AD,并在射线AD上取一点E,使∠AEC=α,连接CE,BE.(1)如图①,当点D在线段CB上,α=90°时,请直接写出∠AEB的度数; (2)如图②,当点D在线段CB上,α=120°时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系,并说明理由; (3)当α=120°,tan⁡∠ DAB=1/3时,请直接写出CE/BE的值.

如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以点A为圆心,以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE. (1)求证:DE与⊙A相切;(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.

超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?

如图,我国某海域有A,B两个港口,相距80海里,港口B在港口A的东北方向,点C处有一艘货船,该货船在港口A的北偏西30°方向,在港口B的北偏西75°方向,求货船与港口A之间的距离.(结果保留根号)

某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?

为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时,将它分为4个等级:A(0≤x<2),B(2≤x<4),C(4≤x<6),D(x≥6),并根据调查结果绘制了如两幅不完整的统计图: 请你根据统计图的信息,解决下列问题:(1)本次共调查了_________名学生;(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为_________°;(3)请补全条形统计图;(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀,现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.

先化简,再求值:(-)÷,其中x=-3.

如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使AE=DA,连接EB,点F1是CD的中点,连接EF1,BF1,得到ΔEF1B;点F2是CF_1的中点,连接EF2,BF2,得到ΔEF2 B;点F3是CF2的中点,连接EF3,BF3,得到ΔEF3 B;…;按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则ΔEFn B的面积为_________.(用含正整数n的式子表示)

如图,在ΔABC中,AB=AC,点A在反比例函数y=k/x(k>0,x>0)的图象上,点B,C在x轴上,OC=1/5 OB,延长AC交y轴于点D,连接BD,若ΔBCD的面积等于1,则k的值为_________.

如图,在Rt ΔABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于1/2 AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为_________.

如图,二次两数y=x2-(m+1)x+m(m是实数,且-1<m<0)的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其对称轴与x轴交于C.已知点D位于第一象限,且在对称轴上,OD⊥BD,点E在x轴的正半轴上,OC=EC,连接ED并延长交y轴于点F,连接AF. (1)求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示);(2)已知点Q在拋物线的对称轴上,当△AFQ的周长的最小值等于12/5时,求m的值.

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(-2,1),(2-3)两点.(1)求b的值.(2)当c>-1时,该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是__________.(3)设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点,当-1<m<3时,结合函数的图像,直接写出a的取值范围.

已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1,0)和B(3,0),点P1 (x1,y1 ),P2 (x2,y2)是抛物线上不同于A,B的两个点,记△P1 AB的面积为S1,△P2 AB的面积为S2.有以下结论:①当x1>x2+2时,S1>S2;②当x1<2-x2时,S1<S2;③当|x1-2|>|x2-2|>1时,S1>S2;④当|x1-2|>|x2+2|>1时,S1<S2.其中正确结论的个数是【 】

已知在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,4),M是抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当b/a的值确定时,抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定.若抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M,使△AOM为直角三角形,则b/a的值是______.

在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.(1) 若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;(2) 已知点(-1,y1 ),(2,y2 ),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.

在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点,则k=________.

如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C',平移该胶片使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.

下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的任务。用函数观点认识一元二次方程根的情况:我们知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像(称为抛物线)与x轴交点的横坐标,抛物线与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、无交点,与此相对应,一元二次方程的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根,因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.下面根据抛物线的顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)和一元二次方程根的判别式∆=b2-4ac,分a>0和a<0两种情况进行分析:(1) a>0时,抛物线开口向上.①当∆=b2-4ac>0时,有4ac-b2<0.∵a>0,∴顶点纵坐标(4ac-b2)/4a<0.∴顶点在x轴的下方,抛物线与x轴有两个交点(如图).②当∆=b2-4ac=0时,有4ac-b2=0.∵a>0,∴顶点纵坐标(4ac-b2)/4a=0∴顶点在x轴上,抛物线与x轴有一个交点(如图).∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.③当∆=b2-4ac<0时,.....(2) a<0时,抛物线开口向下……任务:(1)上面小论文中的分析过程,主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可);A.数形结合 B.统计思想 C.分类讨论 D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程,写出③中当a>0,∆<0时,一元二次方程根的情况的分析过程,并画出相应的示意图;(3)实际上,除一元二次方程外,初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如:可用函数观点来认识一元一次方程的解.请你再举出一例为__________.

如图,二次函数y=-1/4 x2+3/2 x+4的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点P是第一象限内二次函数图像上的一个动点,高点P的横坐标为m,过点P作PD⊥x轴于点D,作直线BC交PD于点E. (1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线BC的函数表达式;(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;(3)连接AC,过P作直线l//AC,交y轴于点F,连接DF.试探究:在点P运动的过程中,是否存在点P,使得CD=FD,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

如图1,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0),C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D. (1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;(3)点Q在抛物线上,当PD/AD的值最大且△APQ是直角三角形时,求点Q的横坐标; (4)如图2,作CG⊥CP,CG交x轴于点G(n,0),点H在射线CP上,且CH=CG,过GH的中点K作KI//y轴,交抛物线于点I,连接IH,以IH为边作出如图所示正方形HIMN,当顶点M恰好落在y轴上时,请直接写出点G的坐标。

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABCOABC为矩形,点C,A分别在x轴和y轴的正半轴上,点D为AB的中点.已知实数k≠0,一次函数y=-3x+k的图像经过点C,D,反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过点B,求k的值.

如图,正比例函数y=kx与函数y=6/x的图像交于A,B两点,BC//x轴,AC//y轴,则S△ABC=________.

若反比例函数的图象经过点(1,-2),则该反比例函数的解析式(解析式也称表达式)为_________.

如图,已知反比例函数过A,B两点,A点坐标(2,3),直线AB经过原点,将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则C点坐标为________.

在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的点A在函数y=1/x(x>0)的图像上,点C在函数y=-4/x(x<0)的图像上,若点B的横坐标为-7/2,则点A的坐标为【 】

如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=1/2 x+4分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P(x,y)为直线l在第二象限的点.(1) 求A,B两点的坐标;(2) 设△PAO的面积为S,求S关于x的解析式,并写出x的取值范围;(3) 作△PAO的外接圆⨀C,延长PC交⨀C于点Q,当△POQ的面积最小时,求⨀C的半径.

如图,用绳子围成周长为10m的矩形,记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2.当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是【 】

在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=k/x(k≠0)的图像经过点A(1,2)和点B(-1,m),则m的值为______.

若点A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=8/x的图像上,则x1,x2,x3的大小关系是【 】

在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图像设计了一个问题情境.已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上,阅览室离学生公寓1.2km,超市离学生公寓2km.小琪从学生公寓出发,匀速步行了12min到阅览室;在阅览室停留70min后,匀速步行了10min到超市;在超市停留20min后,匀速骑行了8min返回学生公寓,给出的图像反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系.请根据相关信息,解答下列问题:(I)填表:离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km 0.5 ___ ___ 1.6 ___(Ⅱ)填空:①阅览室到超市的距离为________km;②小琪从超市返回学生公寓的速度为________km/min;③当小琪离学生公寓的距离为1km时,他离开学生公寓的时间为________min.(Ⅲ)当0≤x≤92时,请直接写出y关于x的函数解析式.