大学数学-考研试题(天津大学 2022年傅里叶级数)

问答题（2022年天津大学）

设f(x)=

(1)求f(x)的傅里叶级数与傅里叶级数的和函数；

(2)证明：1/n² =π²/6.

答案解析

(1) a0=1/π f(x) dx=1/π (x+2π)2 dx+1/π x2 dx=8π2/3an=1/π f(x)cosnx dx=1/π [(x+2π)2 cosnx dx+x2 cosnx dx]=4/n2bn=1/πf(x)sinnx dx=1/π [(x+2π)2 sinnx dx+x2 sinnx d...

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讨论

大学数学

设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.

设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

设f(x)在x=0处连续，且对任意的x∈R，有f(x)=f(3x)，证明：f(x)是常值函数.

证明数列{sinn}发散.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数，且有[a,b]⊂(a,b)，证明：1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

傅里叶级数

设f(x)=,S(x)=a0/2+ancosnπx,-∞<x<+∞，其中an=2f(x)cosnπxdx (n=0,1,2,…)，则S(-5/2)等于【】

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=，则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______.

设函数f(x)=x2,0≤x<1，而S(x)=bnsinnπx,-∞<x<+∞，其中bn=2f(x)sinnπxdx,x=1,2,3,…，则S(-1/2)等于【】

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

设f(x)=，则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于__________.

设函数f(x)=πx+x2 (-π<x<π)的傅里叶级数展开式为a0/2+(ancosnx+bnsinnx)，其中系数b3的值为__________.

设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.

设级数sinnx/(1+nx2)(1)当x取何值时，级数绝对收敛？并说明理由；(2)当x取何值时，级数条件收敛？并说明理由.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

无穷级数

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

将f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.