计算题(2022年华中科技大学

已知S:(x-5)2+2y2+2(z+1)2=3,方向取外侧,计算

S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ](3/2) 

答案解析

以(5,0,0)为球心,以ε为半径在S内部作球面Γ,记其内侧为Γ_内、外侧为Γ_外.由Gauss公式:∬S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ]3/2 =∬S+Γ内((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ]3/2 -∬Γ内((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ]3/2 =∯S+Γ内((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ]3/2 ...

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讨论

设曲面:z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2,柱壁面:9y-9x2+5=0,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

设平面L是下半圆周y=-,则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

向量场u(x,y,z)=xy2i+ye2j+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=________.

求曲面积分I=∬S yzdzdx+2dxdy,其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1上第一卦限的点M(ξ,η,ζ),问当ξ,η,ζ取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.

设数量场u=ln,则div(gradu)=________________.

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关,共中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)=0,则f(x)等于【 】