大学数学-考研试题(北京邮电大学 2024年无穷小与无穷大)

问答题（2024年北京邮电大学）

当x→0时，xe^-x/2与αxⁿ是等价无穷小，求α和n.

答案解析

解答过程见word版

讨论

大学数学

讨论方程(lnx)²-2lnx+2x+k=0的实根的个数，其中k是常数.

证明：若an>0,an/an+1 =l>1，则an=0.

求二元函数f(x,y)=x²(2+y²)+ylny的极值.

求幂级数(-1)n-1/(2n-1) x2n的收敛域及和函数.

计算定积分：(1+sin⁡(3x))/(1+cos²⁡x ) dx.

北京邮电大学泰勒公式

设{fn(x)}是区间[a,b]上一致收敛于f的可积函数列，证明：f在[a,b]上可积，且f(x)dx=fn(x) dx.

证明：(xlnx)ndx=(-1)nn!/(n+1)n+1 ，并利用此结论证明：x-x dx=1/nn .

设x>0,y>0，证明：xy-ex-1≤ylny

设f(x)是[-1,1]上的连续函数，证明：⁡εf(x)/(ε²+x²)dx=πf(0)

无穷小与无穷大

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【】

已知当x→0时，(1+ax2)1/3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=__________.

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

考研无穷小与无穷大

函数与极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】