大学数学-考研试题(北京邮电大学 2024年函数的单调性)

问答题（2024年北京邮电大学）

讨论方程(lnx)²-2lnx+2x+k=0的实根的个数，其中k是常数.

答案解析

解答过程见word版

讨论

大学数学

证明：若an>0,an/an+1 =l>1，则an=0.

求二元函数f(x,y)=x²(2+y²)+ylny的极值.

求幂级数(-1)n-1/(2n-1) x2n的收敛域及和函数.

计算定积分：(1+sin⁡(3x))/(1+cos²⁡x ) dx.

北京邮电大学泰勒公式

设{fn(x)}是区间[a,b]上一致收敛于f的可积函数列，证明：f在[a,b]上可积，且f(x)dx=fn(x) dx.

证明：(xlnx)ndx=(-1)nn!/(n+1)n+1 ，并利用此结论证明：x-x dx=1/nn .

设x>0,y>0，证明：xy-ex-1≤ylny

设f(x)是[-1,1]上的连续函数，证明：⁡εf(x)/(ε²+x²)dx=πf(0)

设f(x)在(0,+∞)上三次可导，且f(x)与f'''(x)均存在，证明：⁡f' (x)=⁡f'' (x)=f'''(x)=0

函数的单调性

设函数f(x)为(a,b)上的凸函数，即∀x1,x2∈(a,b)以及λ∈(0,1)，有f(λx1+(1-λ) x2 )≤λf(x1 )+(1-λ)f(x2)证明：(1)对∀x∈(a,b)，左右导数f-' (x),f+' (x)均存在，且f-' (x)≤f+' (x)，(2) f-' (x),f+' (x)均在(a,b)上单调递增.

对任意的x>0,y∈R，证明：xy≤xlnx-x+ey.

证明：2n/(2n+1)≤(1+1/n)n/e≤(2n+1)/(2n+2)(n≥1)

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

设b>a>e，证明ab>ba.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

中值定理与导数的应用

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，过点A(0,f(0))与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f'' (ξ)=0.