大学数学-考研试题(武汉大学 2024年高阶导数)

证明题（2024年武汉大学）

设f(x)在(0,+∞)上三次可导，且 lim x->+∞ f(x)与f'''(x)均存在，

证明： lim x->+∞ ⁡f' (x)=⁡f'' (x)=f'''(x)=0

答案解析

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讨论

大学数学

证明：2n/(2n+1)≤(1+1/n)n/e≤(2n+1)/(2n+2)(n≥1)

用含参量积分求arctanx/x dx

求曲面积分∬S(xy+yz+zx)dS其中S是z=被x²+y²=2ay截掉的部分.

以x=ty参数化曲线x²+y³=xy，求曲线所围区域的面积.

求极限 sin⁡(k/n)∙sin(k/n²)

设y=arcsinx/，求y(2023) (0).

求极限 (sinx-arctanx)/(tanx-arcsinx)

设二元函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域U内有定义，且在U内存在偏导数.证明：若偏导数fx(x,y)和fy(x,y)都在(x0,y0)可微，则fxy (x0,y0 )=fyx (x0,y0).

设f(x)在(-∞,+∞)上可导，且对任意实数x有f(x)=f(x+2k)=f(x+b)，其中k为正整数，b为正无理数，用Fourier级数理论证明f(x)为常数.

设f:[0,1]→(0,+∞)为连续函数，常数a≥1.证明：=a+1.

高阶导数

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

导数与微分

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设，则d²y/dx²|t=1=________.

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且f(x)=0，则【】

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.

设函数f在R上可微，且满足对任意x∈R，有f(x+1)-f(x)=f'(x)以及f' (x)=1，证明：存在常数C，使得f(x)=x+C.

给定方程x²+y + sin(xy)=0.(1) 说明在点(00)的充分小的邻域内，此方程确定唯一的可导的函数 y=y(x)，使得 y(0)= 0，并求出 y=y(x)的导函数表达式.(2) 判断在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的函数 x =x(y)，使得x(0)=0，说明理由.

设p(x)=x-x²，记[x]为取整函数，即不超过x的最大整数，又设f(x)是二阶连续可微函数，对任意非负整数k，证明：f(x)dx=(f(k+1)+f(k))/2-1/2 f''(x)p(x-[x]) dx

已知y=arcsine-√x，求y'.