大学数学-考研试题(武汉大学 2024年方程求解)

证明题（2024年武汉大学）

设f(x)是[-1,1]上的连续函数，证明：

⁡εf(x)/(ε²+x²)dx=πf(0)

答案解析

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讨论

函数极限

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

求(lnn-[lnn])=______.

求极限[1/ln⁡(1+x) -1/ln⁡(x+√(1+x²)) ]

求极限1/x |sint|dt

求极限：[1/e (1+1/x)x ]x

求极限⁡(-cotx/e-2x +1/e-xsin²⁡x -1/x²)

方程求解

已知方程a1/(x-λ1 )+a2/(x-λ2 )+a3/(x-λ3 )=0其中a1,a2,a3>0,λ1<λ2<λ3.证明：此方程在区间(λ1,λ2)和(λ2,λ3)中各有一根.

(1)证明：方程(x+1)x+1=exx有唯一正根.(2)若β为(1)中方程的根，计算极限(β+1/n)(β+2/n)⋯(β+n/n).

若3a2-5b<0，则方程x5+2ax3+3bx+4c=0【】

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

求极限 (sinx-arctanx)/(tanx-arcsinx)

设y=arcsinx/，求y(2023) (0).

求极限 sin⁡(k/n)∙sin(k/n²)

以x=ty参数化曲线x²+y³=xy，求曲线所围区域的面积.

求曲面积分∬S(xy+yz+zx)dS其中S是z=被x²+y²=2ay截掉的部分.

用含参量积分求arctanx/x dx

中值定理与导数的应用

设f(x)在[0,2]上具有连续导数，f(0)=f(2)=0,M=max⁡|f(x)|,x∈[0,2]，证明：(1)∃ξ∈[0,2]，使得|f'(ξ)|≥M；(2)若∀x∈[0,2],|f'(x)|≤M，则M=0.

设函数f:[0,1]→R是连续的且在(0,1)上可微，若f满足：(1) f(0)=0；(2)存在常数M>0使得|f'(x)|≤M|f(x)|对任意x∈(0,1)成立.证明：在[0,1]上f(x)=0.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

设函数f(x)具有2阶导数，且f' (0)=f' (1),|f'' (x)|≤1，证明：(1)当x∈(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|≤(x(1-x))/2;(2) |f(x) dx-(f(0)+f(1))/2|≤1/12.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

设函数f(x)为(a,b)上的凸函数，即∀x1,x2∈(a,b)以及λ∈(0,1)，有f(λx1+(1-λ) x2 )≤λf(x1 )+(1-λ)f(x2)证明：(1)对∀x∈(a,b)，左右导数f-' (x),f+' (x)均存在，且f-' (x)≤f+' (x)，(2) f-' (x),f+' (x)均在(a,b)上单调递增.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

设f(x)=(x-x0 )n φ(x)，其中n为正整数，φ(x)在x0连续且φ(x0 )≠0，讨论f(x)在x0处能否取极值？

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，过点A(0,f(0))与点B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使f'' (ξ)=0.