证明题(1990年理工数学Ⅰ

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b).证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f' (ξ)>0.

答案解析

因f(x)不恒为常数且f(a)=f(b),故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b).若f(c)>f(a),则在[a,c]上f(x)满足拉格朗日中值定理条件.因此至少存在一点ξ∈(...

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讨论

设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0,n≥2)的根全为实数,证明:方程P′(x)=0的根也全为实数.

若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0),在(a,b)内可导,且f(a)=0,证明:存在ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).

已知f(x)在[a,b]上三次可微,且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明:|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

设f(x)在(0,1)上可导,在[0,1]上连续,且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明:存在ξ∈(0,1),使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.

设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数,证明:(Ⅰ)若f(x)=0,则存在ξ∈(-a,a),使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)];(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值,则存在η∈(-a,a),使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,求证:存在ξ∈(0,1),使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数,并且f″(x)>0,f′(x)=α>0,f′(x)=β<0,且存在一点x0使得f(x0)<0,证明:方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微,Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式,证明:对于任意x∈[a,b],存在与x有关的ξ∈(a,b),使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设函数f(x)在闭区间[a,]连续,f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0,证明:函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f'(x)≠1,证明:在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.