高中数学-高考试题(新高考Ⅰ 2022年导数的应用)

填空题（2022年新高考Ⅰ）

若曲线y=(x+a)e^x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．

答案解析

(-∞,-4)∪(0,+∞)∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，设切点为(x0,y0 ),则y0=(x0+a) ex0,切线斜率k=(x0+1+a) ex0,切线方程为：y-(x0+a) ex0=(x0+1+a) ex0 ...

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讨论

高中数学

写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程________________．

(1-y/x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．

已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R，记g(x)=f' (x)，若f(3/2-2x)，g(2+x)均为偶函数，则【】

已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则【】

已知函数f(x)=x3-x+1，则【】

已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则【】

已知四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3√3，则该四棱锥体积的取值范围是【】

设a=0.1e0.1,b=1/9,c=-ln0.9，则【】

记函数f(x)=sin⁡(ωx+π/4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2/3 π<T<π，且y=f(x)的函数图像关于点(3π/2,2)中心对称，则f(π/2)=【】

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为【】

导数的应用

用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高多少时容器的面积容积最大？并求出它的最大容积。

已知关于 x 的函数 y = f(x), y = g(x) 与 h(x) = kx + b (k, b ∈ R) 在区间 D 上恒有 f(x) ⩾ h(x) ⩾ g(x).(1) 若 f(x) = x2 + 2x, g(x) = −x2 + 2x, D = (−∞, +∞), 求 h(x) 的表达式;(2) 若 f(x) = x2 − x + 1, g(x) = k ln x, h(x) = kx − k, D = (0, +∞), 求 k 的取值范围;(3) 若 f(x) = x4−2x2, g(x) = 4x2−8, h(x) = 4(t3−t)x−3t4+2t2 (0 < |t| ⩽), D = [m, n] ⊂ [-, ].求证: n − m ⩽.

函数y=1+3x-x3有【】

函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为__________.

设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1，其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.

设函数f(x)=ln⁡(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x)=(x+f(x))/(xf(x)).证明：g(x)<1.

已知函数f(x)=x3 - x2+ax+1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.

已知函数f(x)=(3-2x)/(x2+a).(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.

设a,b为实数，且a>1，函数f(x)=ax-bx+e2 (x∈R)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>2e4，函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，满足：x2>blnb/(2e2 ) x1+e2/b. (注：e=2.71828… 是自然对数的底数)

已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-e⁡x2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．

导数与微分

利用积分计算椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0)所围成的面积.

河南省微积分

试用ε﹣δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续”的定义.

若f(x)在点x=x0处连续，且f(x0)>0，则存在一个x0的(x0﹣δ，x0+δ)，在这个邻域内，处处有f(x)>0.

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = ex/(x+a). 若 f′(1) = e/4 , 则 a = ______.

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

(n+1)/(3n+2)=________.

求y=cos2 的导数.