初中数学-中考试题(广东省广州市 2021年直角三角形)

单项选择（2021年广东省广州市）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB边上，连结BB'，则sin∠BB'C'的值为【】

A、3/5

B、4/5

C、√5/5

D、2√5/5

答案解析

C∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB===10,∵B' C'=BC=8,BC'=AB-AC'=AB-AC=10-6=4,∴B' B===4√5,∴sin∠BB' C=BC'/BB'=4/(4√...

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讨论

直角三角形

在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为________.

如图，有一张一个角为 30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是【】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=________.

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.

阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝——铜奔马，又称“马踏飞燕”，于1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志.在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑.某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上.α的度数β的度数CD的长度仪器CD（EF）的高度测量数据31°42°5米1.5米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小数）.（参考数据：sin⁡3 1°≈0.52，cos⁡3 1°≈0.86，tan⁡3 1°≈0.60，sin⁡4 2°≈0.67，cos⁡4 2°≈0.74，tan⁡4 2°≈0.90）

有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________.

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是【】

一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为【】

如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=4/5，则AC=______.

三角形

如图，在ΔABC中，D是BC边上一点，且BD=BA. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.

已知ΔABC的周长为16，点D，E，F分别为ΔABC三条边的中点，则ΔDEF的周长为【】

如图，BC//DE,且BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=10，则AE/AC的值为__________.

已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【】

如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.

【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形，例如：如图①，在∆ABC和∆A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'、则∆ABC和∆A'B'C'是等高三角形。【性质探究】如图①，用S∆ABC和S∆A'B'C'分别表示∆ABC和∆A'B'C'的面积，则S∆ABC=1/2 BC∙AD,S∆A' B' C'=1/2 B'C'∙A'D',∵AD=A'D'∴S∆ABC:S∆A'B'C'=BC:B'C'.【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3，DC=4，则S∆ABD:S∆ADC=________;(2)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S∆ABC=1,则S∆BEC=______, S∆DEC=________.(3)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点. 若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S∆ABC=a,则S∆DEC=________.

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m. (1)求∠C的大小及AB的长;(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据: tan76°取4，√17取4.1)

如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是【】

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表:(单位:厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；①设BC=x,AC+BC=y，以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；②连线；观察思考(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=__________时，y最大；(4)进一步C猜想:若Rt△MBC中，∠C=90°，斜边AB=2a(a为常数，a>0)，则BC= _________时，AC+BC最大.推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明.问题1.在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2.补全观察思考中的两个猜想:(3) _______ (4) _______问题3.证明上述(5)中的猜想:问题4.图②中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

如图，在ΔABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若BC=4，则CD的长为_________.

几何图形

在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短?(1)如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4πcm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号).① ②(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.③ ④①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________(用含l,h的代数式表示).②设AD的长为a,点B在母线OC上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

如图，已知在矩形ABCD中AB=1,BC=√3,点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时，点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是【】

如图，直线c与直线a、b都相交，若a//b，∠1=55°，则∠2=【】

一个10边形的内角和等于【】

如图，等边△ABC的三个顶点都在⨀O上，AD是⨀O的直径.若OA=3，则劣弧BD的长是【】

下列图形是某几何体的三视图(其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图)。已知主视图和左视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为________.

如图，AB是⨀O的直径，点C是⨀O上异于A,B的点，连接AC,BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC. (1)求证：DC是⨀O的切线；(2)若OA/OD=2/3,BE=3，求DA的长.

如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为【】

如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为【】

在矩形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF=DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的有【】个。 ①tan∠GFB=1/2 ②MN=NC ③CM/EG=1/2 ④S四边形GBEM=(√5+1)/2