初中数学-中考试题(云南省 2021年直角三角形)

单项选择（2021年云南省）

在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=3/5，则AB的长是【】

A、500/3

B、503/3

C、60

D、80

答案解析

D

讨论

三角函数

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,AB=2,则sinB的值是______.

某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)

假设小丽的眼睛距地面1.5米，当她站在C点时，测出旗杆A的仰角为 30°，如果向前走 10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆AB的高度.

如图，学校环保社成员想测量斜坡 CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10cm，则树AB的高度是【】m.

如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A,B,C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度(结果取整数).参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.

计算|1-tan60°|的值为【】

tan45°的值等于【】

为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”，该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为x1、x2，1名男生，记为y1;在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为x3,2名男生，分别记为y2,y3，现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛.(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数;(2)求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P.

按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6,…，第n个单项式是【】

下列图形是某几何体的三视图(其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图)。已知主视图和左视图是两个全等的矩形.若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为________.

直角三角形

小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】

如图， RT△ABC中∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5,OC=6，则另一直角边BC的长为________.

如图，为了测量河对岸两点AB之间的距离，在河岸这边取点CD测得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.(参考数据：tan19°17'≈0.35，tan56°19'≈1.50.)

随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度，某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处的俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长.(结果精确到1m.参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,√3≈1.73).

问题情境:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由.问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长;(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长.

无人机在实际生活中应用广泛。如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B C、D P在同一平面内)。(1)填空：∠APD=____度，∠ADC=____度； (2)求楼CD的高度(结果保留根号)；(3)求此时无人机距离地面BC的高度.

如图，有一张一个角为 30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是【】

小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为 60°，求山高【】

用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：Rt△ABC，∠B=90°.求作：点P使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°.

如图，ΔABC中，点E在边AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD=8，AC=11，则边BC的长为_______．

三角形

如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为y=1/2 x-1，则tanA的值是______.

问题提出如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系?问题探究(1)先将问题特殊化.如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系;(2)再探究一般情形.如图(1)，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.

如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO、AB的中点C、D的横坐标分别是1、4，则点B的横坐标是______.

如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设∠ABC=α，则∠ADC______(用含α的代数式表示).

【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形，例如：如图①，在∆ABC和∆A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'、则∆ABC和∆A'B'C'是等高三角形。【性质探究】如图①，用S∆ABC和S∆A'B'C'分别表示∆ABC和∆A'B'C'的面积，则S∆ABC=1/2 BC∙AD,S∆A' B' C'=1/2 B'C'∙A'D',∵AD=A'D'∴S∆ABC:S∆A'B'C'=BC:B'C'.【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点.若BD=3，DC=4，则S∆ABD:S∆ADC=________;(2)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S∆ABC=1,则S∆BEC=______, S∆DEC=________.(3)如图③，在ΔABC中，D，E分别是BC和AB边上的点. 若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n,S∆ABC=a,则S∆DEC=________.

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m. (1)求∠C的大小及AB的长;(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).(参考数据: tan76°取4，√17取4.1)

如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是【】

如图，在ΔABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：ΔABC是等腰三角形.

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表:(单位:厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；①设BC=x,AC+BC=y，以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；②连线；观察思考(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=__________时，y最大；(4)进一步C猜想:若Rt△MBC中，∠C=90°，斜边AB=2a(a为常数，a>0)，则BC= _________时，AC+BC最大.推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明.问题1.在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2.补全观察思考中的两个猜想:(3) _______ (4) _______问题3.证明上述(5)中的猜想:问题4.图②中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

如图，在ΔABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若BC=4，则CD的长为_________.