大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2024年可分离变量的微分方程)

填空题（2024年理工数学Ⅱ）

微分方程y'=1/(x+y)² 满足 y(1)=0的解为___________.

答案解析

y-arctan⁡(x+y)=-π/4

解答过程见word版

讨论

大学数学

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

曲线y²=x在点(0,0)处的曲率圆方程为____________________.

设A，B为2阶矩阵，且AB = BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的【】

设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0，且A≠A*，则r(A)取值为【】

设A为3阶矩阵，P=，若PT AP²=，则A=【】

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

设P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z)均为连续函数，Σ为曲面z=(x≤0,y≥0)的上侧，则∬ΣPdydz+Qdzdx=【】

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

微分方程

若函数f(x)满足f'' (x)+af' (x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f' (0)=n，则f(x)dx=________.

设y(x)为微分方程x²y''+xy'-9y=0满足条件 y|x=1=2, y'|x=1=6的解.(1)利用变换x=et将上述方程化为常系数线性方程，并求y(x)；(2)计算y(x)dx.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N，在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y= y(v).

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【】

求解微分方程组的初值问题

考虑方程x''+k2 x=f(t)，其中k为常数，函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

可分离变量的微分方程

求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y|x=1=1的特解.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

某物体以速度v(t)=t+ksinπt做直线运动，若它从t=0到t=3的时间段内平均速度是5/2，则k=__________.

设向量α1=,α2=,α3=，若α1,α2,α3线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=__________.