单项选择(2023年北京市

(2x-1/x)5的展开式中x的系数为【 】

A、-80

B、-40

C、40

D、80

答案解析

D

【解析】

通项Tr+1=C5r (2x)5-r (-1/x)r=(-1)r 25-r C5r x5-2r

令5-2r=1得r=2,

所以x的系数为(-1)² 25-2 C52=80.

讨论

下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是【 】

已知向量a→,b→满足a→+b→=(2,3),a→-b→=(-2,1),则|a→ |²-|b→ |²=【 】

在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,√3),则z的共轭复数z ̅=【 】

已知集合M={x│x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=【 】

设ABC是一个正三角形.点A1,B1,C1在三角形ABC的内部,且满足A1 B=A1 C,B1 A=B1 C,C1 A=C1 B及∠BA1 C+∠CB1A+∠AC1 B=480°.设直线BC1与CB1交于点A2,AC1与A1 C交于B2,AB1与A1 B交于C2.证明:若三角形A1 B1 C1的三边长度两两不等,则三角形AA1 A2,BB1 B2,CC1 C2的外接圆都经过两个公共点.

设n是一个正整数.日式三角是将1+2+…+n个圆排成正三角形的形状,使得对 i= 1,2,…,n,从上到下的第i行恰有个圆,且其中恰有一个被染为红色.在日式三角内,忍者路径是指一串由n个圆组成的序列,从最上面一行的圆开始,每次从当前圆连接到它下方相邻的两个圆之一,直至到达最下面一行的某个圆为止.下图为一个n=6的日式三角,其中画有一条包含两个红色圆的忍者路径.求最大的整数k(用n表示),使得在每个日式三角中都存在一条忍者路径,它包含至少k个红色圆.

设x1,x2,⋯,x2023为两两不等的正实数,对任意一个n=1,2,⋯,2023,an=都是一个整数.证明:a2023≥3034.

给定整数k≥2.求所有无穷正整数数列a1,a2,⋯,使得存在多项式P(x)=xk+ck-1 xk-1+⋯+c1 x+c0其中c0,c1,⋯,ck-1是非负整数,满足P(an )=an+1 an+2⋯an+k对任意正整数n成立.

在锐角三角形ABC中,AB<AC.设Ω为三角形ABC的外接圆.点S是Ω上包含点A的弧BC的中点.过点A作垂直于BC的直线与BS交于点D,与圆Ω交于另一点E,E≠A.过点D且平行于BC 的直线与直线BE交于点L.记ω为三角形BDL的外接圆.设ω与Ω交于另一点P,P≠B.证明:ω在点P处的切线与直线BS的交点在∠BAC的内角平分线上.

Determine all composite integers n>1 that satisfy the following property:if d1,d2,⋯,dk are all the positive divisors of n with 1=d1<d2<⋯<dk=n, then di divides di+1+di+2 for every 1≤i≤k-2.译文:设1=d1<d2<⋯<dk=n是合数n的全部正因数,若对任意1≤i≤k-2,有di |di+1+di+2,求n.