高中数学-高考试题(全国甲·理 2022年柯西不等式*)

证明题（2022年全国甲·理；2022年全国甲·文）

已知a,b,c均为正数，且a²+b²+4c²=3，证明：

（1）a+b+2c≤3；

（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3.

答案解析

（1）∵a,b,c均为正数，且a2+b2+4c2=3，∴由柯西不等式知，(a2+b2+4c2 )(12+12+12 )≥(a+b+2c)2，即3×3≥(a+b+2c)2⟹a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c即a=b=1,c=1/2时取等号；（2）...

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讨论

高中数学

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（t为参数），曲线C2的参数方程为，（s为参数）.（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.

已知函数f(x)=ex/x-ln⁡x+x-a．（1）若f(x)≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则x1x2<1．

设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．（1）求C的方程；（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

记Sn为数列{an }的前n项和．已知2Sn/n+n=2an+1．（1）证明：{an }是等差数列；（2）若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当AC/AB取得最小值时，BD=________．

从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

若双曲线y2-x2/m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________．

设向量a，b的夹角的余弦值为1/3，且|a|=1，|b|=3，则(2a+b)⋅b=_________．

柯西不等式*

设 a, b, c ∈ R, a + b + c = 0, abc = 1.(1) 证明: ab + bc + ca < 0;(2) 用 max{a, b, c} 表示 a, b, c 的最大值, 证明: max{a, b, c} ⩾.

有一叠n>1 张卡片．在每张卡片上写有一个正整数．这叠卡片具有如下性质：其中任意两张上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值．确定所有的n，使得可以推出所有卡片上的数均相等．(爱沙尼亚供题)

The real numbers a,b,c,d are such that a≥b≥c≥d>0 and a+b+c+d=1.Prove that (a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.设实数a、b、c、d满足 a≥b≥c≥d>0 ，且 a+b+c+d=1 . 证明：(a+2b+3c+4d)aabbccdd<1.(比利时供题)

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

已知a,b,c为正数，且a3/2+b3/2+c3/2=1.证明：(1)abc≤1/9;(2) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2).

为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是【】

在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是【】

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2=，

某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则【】

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则【】

不等式

已知 x, y 满足,求 z = y − 2x 的最大值为________.

不等式 < 1的解集是__________.

湖南省二元一次不等式组

不等式组的解集是【】

设函数f(x)= - ax,其中a>0.(I)解不等式f(x)≤1;(II)求a的取值范围，使函数f(x）在区间[0，+∞)上是单调函数.

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈[1,+∞).若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.

已知i,m,n是正整数，且1<i≤m<n.（Ⅰ）证明 niAim<miAin；（Ⅱ）证明 (1+m)n>(1+n)m.

解关于x的不等式(x-a)/(x-a2 )<0(a∈R).

不等式(x-1)/(x-3)>0的解集为【】

已知实数x,y满足，则z=x-y的最大值为__________.