初中数学-中考试题(广东省 2021年等腰三角形)

填空题（2021年广东省）

如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4.分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为________.

答案解析

4 - π

讨论

等腰三角形

如图(左)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DE90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它们的延长线)所在的直线于G，H点，如图(右). (1)问:始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；(2)设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(右)的情形说明理由);(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

问题提出如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系?问题探究(1)先将问题特殊化.如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系;(2)再探究一般情形.如图(1)，当点D，F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系.

如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.设∠ABC=α，则∠ADC______(用含α的代数式表示).

如图，在ΔABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F，求证：ΔABC是等腰三角形.

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD.(1) 尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF(保留作图痕迹，不写作法)；(2) 在(1)所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形.

如图，己知△ABC，AB=AC，BC=16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E,且DE=4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合。下列结论正确的有:________(填写序号).①BD=8 ②点E到AC的距离为3 ③EM=10/3 ④EM//AC

阅读下列材料：1×2=1/3·(1×2×3-0×1×2),2×3=1/3·(2×3×4-1×2×3),3×4=1/3·(3×4×5-2×3×4),由以上三个等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5=20.读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2+2×3+3×4+⋯+10×11(写出过程);(2) 1×2+2×3+3×4+n×(n+1)=____________;(3) 1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+7×8×9=____________.

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______数；(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是______，最后一个数是______，第n行共有______个数;(3)求第n行各数之和.

如图，抛物线y=-5/4 x2+17/4 x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).(1)求直线AB的函数关系式;(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围;(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点0，点C重合的情况)，连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCN为平行四边形?问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.

观察下列等式：第1个等式：a1=1/(1×3)=1/2×(1-1/3);第2个等式：a2=1/(3×5)=1/2×(1/3-1/5);第3个等式：a3=1/(5×7)=1/2×(1/5-1/7);第4个等式：a4=1/(7×9)=1/2×(1/7-1/9);…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5=__________________;(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an=________________=________________(n为正数)；(3)求a1+a2+a3+⋯+a100的值.

三角形

以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表:(单位:厘米)(2)根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析；①设BC=x,AC+BC=y，以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；②连线；观察思考(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=__________时，y最大；(4)进一步C猜想:若Rt△MBC中，∠C=90°，斜边AB=2a(a为常数，a>0)，则BC= _________时，AC+BC最大.推理证明(5)对(4)中的猜想进行证明.问题1.在图①中完善(2)的描点过程，并依次连线；问题2.补全观察思考中的两个猜想:(3) _______ (4) _______问题3.证明上述(5)中的猜想:问题4.图②中折线B-E-F-G-A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,B间的距离是4厘米，AG=BE=1厘米，∠E=∠F=∠G=90°,平行光线从AB区域射入，∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区城，当EF的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE=DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到ΔEF1B；点F2是CF_1的中点，连接EF2，BF2，得到ΔEF2 B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到ΔEF3 B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则ΔEFn B的面积为_________.（用含正整数n的式子表示）

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为【】

如图，已知点O是△ABC的外心，∠A=40°，连结BO、CO则∠BOC的度数是【】

如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，AD与BE相交于点F，若BF=6，则BE的长是________.

如图，将△ABC折叠，使AC边落在△AB边上，展开后得到折痕l，则l是ABC的【】

如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为a，β，则正确的是【】

题目:“如图，∠B=45°，BC=2，在射线BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围.”对于其答案，甲答：d≥2；乙答：d=1.6；丙答：d=√2，则正确的是【】

如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于1/2 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD=BD，则∠A的度数是【】

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若AC=2,DE=1，则S△ACD=________.

圆

如图，已知AB=AC=5,BC=3，以A,B两点为圆心，大于1/2 AB的长为半径画圆弧，两弧相交于两点M,N，连接MN与AC相交于点D，则△BCD的周长为【】

如图1，在四边形ABCD中，AD// BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD.（1）求证：直线CD与⊙O相切；（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD=1，BC=2.求tan⁡∠ APE的值.

如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是_______度．

如图，在⊙O中，点A在弧BC上，∠BOC=100°,则∠BAC=__________.

如图，在Rt ΔABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，分别以点A和B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE=3，则BE的长为_________.

如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC=________.

如图，AB是⨀O的直径，BC是⨀O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E.若=，设∠ABC=α，则α所在的范围是【】

如图，ABAB是⨀O的直径，C,D是⨀O上两点，C是的中点.过点C作AD的垂线，垂足是E.连接AC交BD于点F.(1)求证：CE是⨀O的切线；(2)若DC/DF=，求cos∠ABD的值.

如图，四边形ABCD内接于⨀O,∠1=∠2，延长BC到点E，使得CE=AB，连接ED.(1)求证：BD=ED；(2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，求tan∠DCB的值.

如图，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点BC为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N;②过点M,N作直线MN，分别交BC,BE于点D,O;③连结CO,DE则下列结论错误的是【】