大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2025年协方差及相关系数)

单项选择（2025年经济数学Ⅲ）

设随机变量X服从正态分布N(-1,1),Y服从正态分布N(1,2)，若X与X+2Y不相关，则X与X-Y的相关系数为【】

A、1/3

B、1/2

C、2/3

D、3/4

答案解析

D

【解析】

解答过程见word版

讨论

协方差及相关系数

设X服从区间(-π/2,π/2)的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X,Y)=________.

设随机变量X的概率分布密度为f(x)=1/2 e-|x|,-∞<x<+∞.(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2)求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？(3)问X与|X|是否相互独立？为什么？

已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，设Z=X/3+Y/2.(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXZ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？

设随机变量X~N(0,1)，在X=x条件下，随机变量Y~N(x,1)，则X与Y的相关系数为【】

(X,Y)的联合概率分布为试求：(1)DX (2)DY (3)cov(X,Y)

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设二次型f(x1,x2,x3 )=xT Ax在正交变换下可化成y1²-2y2²+3y3²，则二次型f的矩阵A的行列式值与迹分别为【】

设矩阵A=,Mij表示A的i行j列元素的余子式.若|A|=-1/2，且-M21+M22-M23=0，则【】

随机变量的数字特征

设随机变量X的概率密度为f(x)=，在X=x(0<x<1)的条件下，随机变量Y服从区间(x,1)上的均匀分布，则Cov(X,Y)=【】

设随机变量X的概率密度为f(x)=，则X的三阶中心矩E(X-EX)³=【】

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中，积分会随着时间线性地连续减少（速率为每单位时间段扣除1）。游戏开始后，每隔一个随机时间段（时长为互相独立的参数为1的指数分布)，就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时，小明立即进行操作，可以瞬间击落对方，或者瞬间被对方击落。如被敌机击落，则游戏结束。如小明击落敌机，则会获得1.5个积分，并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏，或者继续游戏。如选择继续游戏，则须等待到下一架敌机出现，中途不能主动退出。游戏的难度不断递增：出现的第n架敌机，小明击落对方的概率为(0.85)n，被击落的概率为1-(0.85)n，且与之前的事件独立。在任何时刻，如果积分降到0，则游戏自动结束。问题部分：(1) 如果游戏中，小明被击落后，其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化，小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2) 假设游戏中，小明被击落后，其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化，小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0)，下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，已知Φ(x)=du, Φ(2.5)=0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为______.

设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=__________.

设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是【】

设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则【】

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(Ⅰ)求X与Y的方差；(Ⅱ)X与Y是否相互独立；(Ⅲ)求Z=X²+Y²的概率密度.

设随机变量X~N(0,4)，随机变量Y~B(3 ,1/3)，且X与Y不相关，则D(X-3Y+1)=【】

已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=k}=2ke-2/k!,k=0,1,2,…，则随机变量Z=3X-2的期望E(Z)=________.

抽样分布

设X1,X2,⋯,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=1/2,Φ(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P{Xi≤55}的近似值为【】

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,2),Y服从正态分布N(-2,2)，若P{2X+Y<a}=P{X>Y}，则a=【】

设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z=|X-Y|，则下列随机变量与Z同分布的是【】

随机变量X,Y相互独立，其X~N(0,2),Y~N(-1,1)，记p1={2X>Y},p2={X-2Y>1}，则【】

设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0;1,1,ρ)，其中ρ∈(-1,1)，若a,b为满足a²+b²=1的任意实数，则D(aX+bY)的最大值为【】

设X1,X2,⋯,X20是来自总体B(1,0,1)的简单随机样本，令T=∑i=120Xi ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈【】

投保人的损失事件发生时,保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y=设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x)=(1)求P{Y>0}及E(Y).(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M，假设N服从参数为8的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,P)，其中P=P{Y>0},求M的概率分布.

总体X的均匀分布为F(X),X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的简单随机样本，样本的经验分布函数为Fn(x)，对于给定的x(0<F(x)<1),D(F(x))=【】

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。