大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2025年抽样分布)

单项选择（2025年经济数学Ⅲ）

总体X的均匀分布为F(X),X₁,X₂,⋯,X_n为来自总体X的简单随机样本，样本的经验分布函数为F_n(x)，对于给定的x(0<F(x)<1),D(F(x))=【】

A、F(x)(1-F(x))

B、(F(x))²

C、1/n F(x)(1-F(x))

D、1/n (F(x))²

答案解析

C

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设随机变量X服从正态分布N(-1,1),Y服从正态分布N(1,2)，若X与X+2Y不相关，则X与X-Y的相关系数为【】

设矩阵A= ,B=，若f(x,y)=|xA+yB|是正定二次型，则a的取值范围是【】

设A为3阶矩阵，则“A³-A²可对角化”是“A可对角化”的【】

已知A是m×n矩阵，β是m维非零向量.若A有k阶非零子式，则【】

设函数f(x)连续，则∫01dy ∫0yf(x) dx【】

已知k为常数，则级数(-1)n [1/n-ln⁡(1+k/n²)] 【】

当x→0+时，下列无穷小量中，与x等价的是【】

已知矩阵A=与B=合同.(1) 求a的值及k的取值范围；(2) 若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=B，求k及Q.

设函数f(x)在(a,b)内可导，证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：对(a,b)内任意的x1,x2,x3，当x1<x2<x3时，(f(x2 )-f(x1))/(x2-x1 )<(f(x3 )-f(x2))/(x3-x2 ).

已知平面有界区域D={(x,y)|x²+y²≤4x,x²+y²≤4y}，计算∬D(x-y)²dxdy.

样本及抽样分布

设X1,X2,⋯,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=1/2,Φ(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P{Xi≤55}的近似值为【】

设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=1/2,Y=X3 X1+(1-X3 ) X2(1)求二维随机变量(X1,Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数Φ(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.

设随机变量X,Y相互独立，且X服从正态分布N(0,2),Y服从正态分布N(-2,2)，若P{2X+Y<a}=P{X>Y}，则a=【】

设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z=|X-Y|，则下列随机变量与Z同分布的是【】

随机变量X,Y相互独立，其X~N(0,2),Y~N(-1,1)，记p1={2X>Y},p2={X-2Y>1}，则【】

设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0;1,1,ρ)，其中ρ∈(-1,1)，若a,b为满足a²+b²=1的任意实数，则D(aX+bY)的最大值为【】

设X1,X2,⋯,X20是来自总体B(1,0,1)的简单随机样本，令T=∑i=120Xi ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈【】

投保人的损失事件发生时,保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y=设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x)=(1)求P{Y>0}及E(Y).(2)这种损失事件在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M，假设N服从参数为8的泊松分布，在N=n(n≥1)的条件下，M服从二项分布B(n,P)，其中P=P{Y>0},求M的概率分布.

设X1,X2,⋯,Xn为来自总体N(μ1,σ2)的简单随机样本，Y1,Y2,⋯,Ym为来自总体N(μ2,2σ2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记X ̅=1/n Xi ,Y ̅=1/m Yi ,S12=1/(n-1) (Xi-X ̅ )2 ,S22=1/(m-1) (Yi-Y ̅ )2 ，则【】

设某产品寿命服从正态分布即Z ~ N(10,22)分布，试求任取5件中恰有2件寿命超过产品期望寿命的概率。

抽样分布

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。

从正态总体N(3.4,62)抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表Φ(z)= dt.z 1.28 1.645 1.96 2.33Φ(z) 0.900 0.950 0.975 0.990

设随机变量X~U(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y的协方差为-1，则D(2X-Y+1)=【】

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设二次型f(x1,x2,x3 )=xT Ax在正交变换下可化成y1²-2y2²+3y3²，则二次型f的矩阵A的行列式值与迹分别为【】

设矩阵A=,Mij表示A的i行j列元素的余子式.若|A|=-1/2，且-M21+M22-M23=0，则【】

设随机变量X的概率密度为f(x)=，则X的三阶中心矩E(X-EX)³=【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.