大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1988年多元复合函数的求导法则)

计算题（1988年理工数学Ⅰ）

设u=yf(x/y)+xg(y/x)，其中函数f,g具有二阶连续导数，求x ∂²u/∂x²+y ∂²u/∂x∂y .

答案解析

利用复合函数求偏导的链式法则，得∂u/∂x=f' (x/y)+xg' (y/x)(-y/x2 )+g(y/x)=f' (x/y)-y/x g' (y/x)(-y/x2 )+g(y/x),(∂2 u)/(∂x2 )=f'' (x/y)(1/y)+y/x2 g' (y/x)+y2/x^3 g'' (y/x)+g' (y/x)(-y/x2 )...

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讨论

大学数学

设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=∬∑ x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【】

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

若函数y=f(x)可导，且f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设4阶矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4 ),B=(β,γ2,γ3,γ4)，其中α,β,γ2,γ3,γ4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4,|B|=1，则行列式|A+B|=________.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.

多元函数微分法

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

设z=1/x·f(xy)+yf(x+y)，求∂2z)/∂x∂y.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

若f(x,y)的偏导数fx,fy在(x0,y0)存在，则f(x,y)在(x0,y0)连续.

用变换ξ=x,η=x2+y2化简方程y ∂z/∂x-x ∂z/∂y=0，并求出这个方程的通解z=z(x,y).

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

多元复合函数的求导法则

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程∂2z/∂x2+∂2z/∂y2=e2x z,求f(u).

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

设z=f(ex siny,x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z/∂x∂y.

设z=1/x f(xy)+yφ(x+y),f,φ具有二阶连续导数，则∂2z/∂x∂y=________________.

设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

设z=f(2x-y)+g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【】

设X1,X2,⋯,Xn为来自总体N(μ1,σ2)的简单随机样本，Y1,Y2,⋯,Ym为来自总体N(μ2,2σ2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记X ̅=1/n Xi ,Y ̅=1/m Yi ,S12=1/(n-1) (Xi-X ̅ )2 ,S22=1/(m-1) (Yi-Y ̅ )2 ，则【】

设X1,X2为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本，其中σ(σ>0)是未知参数.若σ ̂=a|X1-X2 |为σ的无偏估计，则a=【】

曲面z=x+2y+ln⁡(1+x2+y2)在(0,0,0)处的切平面方程为__________.