高中数学-竞赛试题(东南地区 2022年8月3日元素与集合)

证明题（2022年8月3日东南地区）

设a,b是正整数，证明：在区间[b²/(a²+ab),b²/(a²+ab-1))上不存在正整数.

答案解析

当a≥b时，b2/(a2+ab)<b2/(a2+ab-1)≤b2/ab≤1，所以[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))⊂[0,1)，命题成立.当a<b时，(1)当a=1时，原区间为[b2/(1+b),b2/b)=[1/(1+b)+b-1,b)，因为b为正整数，所以在两个连续整数b-1,b之间不存在其他整数.(2)当a>1时，假设存在正整数当b>a>1，且区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上包含正整数，取这样的(a,b)使得a+b最小.令b=aq+r,r∈N*,0≤r≤a-1,则b2/(a2+ab)-(q-1)=(aq+r)2/(a2+a(aq+r) )-q+1=(a2+(q+1)ar+r2)/((q+1) a2+ar)>0,q+1-b2/(a2+ab-1)=q+1-(aq+r)2/(a2+a(aq+r)-1)=((2q+1) a2-(q-1)ar-q-1-r2)/((q+1) a2+r-1) ≥((2q+1) a2-(q-1)a(a-1)-q-1-(a-1)2)/((q+1) a2+ar-1)=((q+...

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讨论

高中数学

如图所示，在△ABC中，H是垂心.以H为圆心，过点A的圆与边AC,AB分别相交于不同于A的另外两点D,E.△ADE的垂心是H'，AH'的延长线与DE相交于点F.点P在四边形BCDE内部，满足△PDE∽△PBC(顶点按对应顺序排列).设直线HH',PF相交于点K，证明：A,H,P,K四点共圆.

设正数数列{an },{bn}满足：a1=b1=1,bn=an bn-1-1/4(n≥2).求4+1/(a1 a2⋯ak )的最小值，其中m是给定的正整数.

给定整数m,n≥2.将一个m行n列的方格表S的每个格子染上红、蓝两色之一，使下述条件成立:对于同一行的两个格子，若它们均被染了红色，则它们所属的两列中，一列的所有格子都被染了红色，另一列中有格子被染了蓝色，求不同的染色方式的数目.

若xi为大于1的整数，记f(xi)为xi的最大素因数.令xi+1=xi-f(xi)（i为自然数）.(1)证明：对任意大于1的整数x0，存在自然数k(x0)，使得xk(x0)+1=0;(2)令V(x0)为f(x0 ),f(x1 ),⋯,f(xk(x0))中不同的个数，求V(2),V(3),⋯,V(781)中的最大数，并说明理由.

如图所示，在锐角△ABC中，AB>AC，H是垂心，AM是中线，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于F.点D在BC边上，满足∠CAD=∠BAM且∠ADH=∠MAH，证明：EF平分线段AD.

设正数数列{an}满足：a1=1+√2且(an-an+1 )(an+an-1-2√n)=2(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求满足[an ]=2022的所有正整数n构成的集合([x]表示不超过x的最大整数).

已知f(x)=1/2 sin2x，关于该函数的四个说法：①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在[-π/4,π/4]上单调递增；③当x∈[-π/6,π/3]时，f(x)的取值范围为[-√3/4,√3/4]；④f(x)的图像可由g(x)=1/2 sin⁡(2x+π/4)向左平移π/8个单位长度得到.正确的个数有【】个

如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为【】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A,，若∠F1 F2 A=π/4，则双曲线的标准方程是【】

计算(2log4⁡3+log8⁡3)(log3⁡2+log9⁡2)的值为【】

元素与集合

对任意一个非零复数z，定义集合Mz={ω|ω=z2n-1,n∈N}.（Ⅰ）设α是方程x+1/x=的一个根，试用列举法表示集合Mα，若在Mα中任取两位数，求其和为零的概率P；（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证Mω⊆Mz.

设整数m≥2.设集合A由有限个整数(不一定为正)构成,且B1,B2,…,Bm是A的子集.假设对任意k=1,2,…,m,Bk中所有元素之和为mk.证明：A包含至少m/2个元素.

Find all the groups of positive integers (a,b,p) satisfying p is a prime number and ap=b!+p.译文：求所有正整数组(a,b,p)，满足：p为素数且ap=b!+p.

323 与 221 之最大公约数为______.

小陶同学玩如下游戏：取定大于1的常数v；对正整数m，第m轮与第m+1轮间隔为2-m单位时长；其中第m轮是在平面上取一个半径为2-m+1的圆形安全区域(含边界，取圆时间忽略不计)；取定后，该圆形安全区域将在整个游戏剩余时间内保持圆心不动，半径以速率v匀速减小，直至半径为零时，去掉该圆形安全区域.若小陶可在第100轮之前(含第100轮)的某轮将圆形安全区域完全取在已有的安全区域内，求[1/(v-1)]的最小值([x]表示不超过x的最大整数).

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

设a,b是正整数，证明：在区间[b2/(a2+ab),b2/(a2+ab-1))上不存在正整数.

集合

已知集合S={s│s=2n+1,n∈Ζ},T={t|t=4n+1,n∈Ζ}，则S∩T=【】

已知集合 A = {(x, y) | x, y ∈ N∗, y ⩾ x} , B = {(x, y) | x + y = 8 }, 则 A ∩ B 中元素的个数为【】

某中学的学生积极参加体育锻炼, 其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳, 60% 的学生喜欢足球, 82% 的学生喜欢游泳, 则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是【】

已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {x | 0 < x < 3}, 则 A ∩ B =【】

设全集 U = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}, 集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {−3, 0, 2, 3}, 则 A ∩ (CUB) =【】

已知 A = {1, 2, 4}, B = {2, 4, 5}, 则 A ∩ B =__________.

已知集合 P = {x | 1 < x < 4}, Q = {x | 2 < x < 3}, 则 P ∩ Q =【】

已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 3}, 则 A ∩ B =__________.

设S,T是两个非空集合，且S⊈T,T⊈S，令X=S∩T,那么S∪X=【】

集合{1,2,3}的子集总共有【】个