高中数学-高考试题(河北省 1977年椭圆)

问答题（1977年河北省）

已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程.

答案解析

设以菱形内角为60°的一对顶点为端点的对角线所在的直线为x轴，建立直角坐标系.设椭圆方程为x2/a2 +y2/b2 =1.由图及已知条件可得b=BO=BC∙sin30°=2a=BC=4.故所求之椭圆方...

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讨论

圆锥曲线

双曲线y2/16 - x2/9=1的准线方程是__________.

双曲线2mx2 - my2 = 2的一条准线是y=1，则m=______.

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P,Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4，求双曲线的方程.

已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与直线F1 F2的夹角为φ,tanφ=/2,l与线段F1 F2的垂直平分线的交点是P,线段PF2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF2 |=2:1.求双曲线C的方程.

焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是____________.

如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为【】

双曲线x2/4 - y2/5=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

设二曲线c1及c2的方程依次为x²+2xy-3y²+2x+2y+2=0及x²+y²-4=0，求1) 过 c1 及 c2的交点的抛物线；2) 过 c1 及 c2 的交点的二次曲线之心之轨迹.

椭圆

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为/2 , 且过点 A(2, 1).(1) 求 C 的方程;(2) 点 M, N 在 C 上, 且 AM ⊥ AN, AD ⊥ MN, D 为垂足. 证明: 存在定点 Q, 使得 |DQ| 为定值.

已知椭圆 C : x2/a2 +y2/b2 =1过点 A(−2, −1), 且 a = 2b.(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 过点 B(−4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 M, N, 直线 MA, NA 分别交直线 x = −4 于点 P, Q. 求 |PB|/|BQ|的值.

已知椭圆 x2/a2 +y2/b2 =1 (a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, −3), 右焦点为 F , 且 |OA| = |OF|, 其中 O 为原点.(I) 求椭圆的方程;(II) 已知点 C 满足 3=, 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点), 直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点P , 且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.

已知椭圆 x2/4+y2/3=1 , 点 P 在第二象限, F 是其右焦点, PF 交椭圆于 Q, Q 关于 x 轴对称点 Q′, 且PF ⊥ FQ′, 直线 PF 的方程是_______________.

已知点 O(0, 0), A(−2, 0), B(2, 0). 设点 P 满足 |PA| − |PB| = 2, 且 P 为函数 y=3 图像上的点,则 |OP| =【】

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E : x2/4+y2/3=1 的左、右焦点分别为 F1、F2, 点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内, AF2⊥F1F2, 直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B.(1) 求 △AF1F2 的周长;(2) 在 x 轴上任取一点 P , 直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q, 求 ∙的最小值;(3) 设点 M 在椭圆 E 上, 记 △OAB 与 △MAB 的面积分别为 S1, S2, 若 S2 = 3S1, 求点 M 的坐标.

椭圆9x2 + 16y2 = 144的离心率为______.

已知椭圆x2/a2 +y2/b2 =1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明：-(a2 - b2)/a < x0 < (a2 - b2)/a.

如图，在面积为1的△PMN中，tanM=1/2,tanN=-2.建立适当的坐标系，求出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

如果方程x2 + ky2 = 2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是【】

直角坐标系与极坐标系

如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A,B为端点的曲线段C上的任意一点到l2的距离与点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=,|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虛轴)旋转所成的曲面,其中A,A'是双曲线的顶点,C,C是冷却塔上口直径的两个端点，B,B'是下底直径的两个端点,已知AA'=14 m, CC'=18 m,BB'=22 m,塔高20 m.(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3 ,塔壁厚度不计,π取3.14).

已知曲线 C : mx2 + ny2 = 1. 【】

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足=，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.

Find the equation in polar coordinates of the straight line which is perpendicular to the polar axes at a distance of 5 units from the pole.

工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器(上面开口)，使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮?(不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可)

求函数y=1-的定义域.

河北省映射与函数

计算：sin 4π/3∙cos 25π/6∙tg(-3π/4).

证明：(sin2α+1)/(1+cos2α+sin2α)=1/2 tanα+1/2.