高中数学-高考试题(新高考Ⅱ 2023年双曲线)

问答题（2023年新高考Ⅱ）

已知双曲线C的中心坐标为原点，左焦点为(-2√5,0)，离心率为√5.

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A₁,A₂，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA₁与NA₂交于点P，证明：点P在定直线上.

答案解析

(1)设双曲线方程为x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)，由焦点坐标可知c=2√5，则e=c/a=√5，解得：a=2,b==4，∴双曲线方程为：x²/4-y²/16=1.(2)由(1)可得A1 (-2,0),A2 (2,0)，设M(x1,y1 ),N(x2,y2)，显然直线MN的斜率不为0，设其方程为x=my-4,-1/2<m<1/2，与x²/4-y²/16=1联立得(4m²-1) y²-32my+48=0，且∆=64(4m²+3)>0，∴y1+y2=32m/(4m²-1),y1 y2=48/(48m²-...

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讨论

圆锥曲线

已知双曲线C:x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，(F1 A) ➝⊥(F1 B) ➝,(F2 A) ➝=-2/3 (F2 B) ➝，则C的离心率为________.

双曲线3x2 - y2 = 3的渐近线方程是【】

设双曲线x2/a2 - y2/b2 =1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为/4 c,则双曲线的离心率为【】

点(3,0)到双曲线x2/16 - y2/9=1的一条渐近线的距离为【】

已知双曲线x2/m - y2=1(m>0)的一条渐近线为 x+my=0，则C的焦距为________.

双曲线x2/4 - y2/5=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

双曲线x2/a2 -y2/b2 =1过点(,)，离心率为2，则双曲线的解析式为【】

设双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±√3 x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1 ),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ//AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

若双曲线y2-x2/m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________．

记双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_________．

双曲线

已知双曲线y2+x2/m=1的渐近线方程为y=±√3/3 x，则m=__________．

已知双曲线x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b/4a的直线交双曲线于点A(x1,y1 )，交双曲线的渐近线于点B(x2,y2 )且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是_________．

已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(√7,0)，直线y=x-1与其相交于M,N两点，MN的中点横坐标为-2/3，则此双曲线的方程是【】

已知抛物线y2=4√5 x,F1,F2分别是双曲线x2/a-y2/b=1(a>0,b>0)的左右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A,，若∠F1 F2 A=π/4，则双曲线的标准方程是【】

英：Find the equation to the normal to hyperbola x2/a2 -y2/b2 =1 at the point (x1,y1) . 汉：求双曲线x2/a2 -y2/b2 =1在点(x1,y1)处的法线方程.

The point of contact of a tangent to an hyperbola is midway between the points in which the tangent meets the asymptotes.

双曲线之切线与渐近线相交，试证切点移动其所包围之三角形之面积为常数.

Reduce the hyperbola 4x² - 9y² - 24x + 36y - 36 = 0 to standard form.

双曲线x²/100-y²/64=1的焦点为S,S1;，其中S位于x正半轴上. P为双曲线在第一象限上的一点，记∠SPS1=α,α<π/2. 过点S且斜率与双曲线在P点切线相同的直线，与直线S1 P交于P1点，记P到直线SP1的距离为δ,β=S1 P.则不超过βδ/9 sin⁡α/2的最大整数为______.

于双曲线4/3 (x-2)2-(y+1)2=1中,已知其一直径之斜度为1/3，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴,试求双曲线之新方程式.

平面解析几何

A,B,C are the angles of a triangle, prove that tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

A boy standing cft. behind and opposite the middle of a foothall goal sees that the angle of elevation of the nearer is A and the angle of elevation of the farther one is B. Show that the length of the field is c(tanAcotB-1).

Chords of the circle p=29cosθ which pass through the pole are extended a distance 2b. Find the locus of their extremities.

关于直交轴有三直线: x=0,y=0,x/a+y/b=1.求与此三直线相切之圆之方程式.

求二直线y=m1x+c1,y=m2x+c2及y轴所包围之三角形之面积.

有ABC三角形，已知B=15°,b=√3-1,c=√3+1，试求其余各项.

于正东正南甲乙二地，测得某山之仰角为 45°及 30°，今甲乙两地之距离为2400 尺，求山高.

如图已知点A(-12),B(3,4)若点P(m,0)使得 |PB|- |PA| 最大，则m的值为【】

设i ̂,j ̂,k ̂分别为与三个坐标轴平行的单位向量，有向量a→=3i ̂+j ̂-k ̂,b→=i ̂+b2 j ̂+b3 k ̂,c→=c1 i ̂+c2 j ̂+c3 k ̂，其中，b2,b3,c1,c2,c3均为实数，且b2 b3>0,a→∙b→=0,=，则下列叙述正确的有【】

求与原点及直线x+4y=8等距离之点之轨迹方程式.