高中数学-高考试题(南开大学 1949年直线与方程)

问答题（1949年南开大学）

i) 设直线ax+by+c=0，经过点(5,-4).求其系数a,b,c须满足的条件.

ii)设直线ax+by+c=0，至原点之距离为 1，求其系数a,b,c须满足的条件.

答案解析

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讨论

高中数学

试讨论方程y=x(x²-1)之图形：i) 对于原点、x轴、y轴对称否.ii) 与x轴之交点如何? 并作图.

已知一级数第n项为lg⁡，试求此级数前几项之和.

试从x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by，消去x,y,z.求a,b,c间的关系式.

方程12x³-28x²+17x-3=0之根为a,b,c，已知b=a+1，求a,b,c.

证明： cos⁡(α+β-γ)+cos⁡(α-β+γ)-cos⁡(β+γ-α)-cos⁡(α+β+γ)=4cosα∙sinβ∙sinγ.

设人眼在墙顶上观察一塔，测得塔之全长所夹之角为θ，设墙高为h尺，墙与塔之距离为d尺.试证：(h²+d²)sinθ/(hsinθ+dcosθ)尺为塔这高.

试判别方程x²+2xy-8y²+2x+14y-3=0之图形的性质.

一圆经过两点(2,-3),(-4,-1)，而其中心在直线3y+x-18=0上，求圆的方程.

试证arcsinx+arcsiny=arcsin⁡(x+y).

求arctg(arcsin⁡(√2/2))的值.

平面解析几何

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

已知二圆C1:x²+y²-6x=0,C2:x²+y²-4=0，求通过C1,C2之两交点及另一点(2,-2)之圆的方程式.

Find the distance from the point (-1, -4) to the straight line which is drawn through (-2,6) and the perpendicular to the line joining (3,6) and (-5,-1).

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

某人在高处望见正东海面上一船首，其俯角为 30°，当船向正南行 a 里后，求得船首俯角为 15°，问此人之视点高出海面若干?

求圆锥曲线 2x²-8xy - 4y² - 4y +1=0 之焦点及准线.

求圆锥曲线 x² +y² = 49 及 x² +y² - 20y +90 =0之公切线的长.

一动圆与 (x - 2)² +y² =1及 Y 轴皆相切，求动圆圆心之轨迹方程.

若 kxy - 8x + 9y - 12 = 0 表示二条直线，求 k 值及此二直线所夹的角.

曲线xy=a²上一切线与坐标轴成一三角形，求此三角形的面积.

直线与方程

过一点 (2,1)的直线与直线 2x - 3y + 12 = 0 成45°角，求直线方程.

若三直线aix+biy+ci=0(i=1,2,3)相交于一点，则=0.试证之.

在定角 XOY 的二边上各取二点 P、Q，使 OP +OQ = a. 试求 PQ 的中点的轨迹.

试证方程 x² + 6xy + 9y² + 4x + 12y -5 = 0 之轨迹为二平行直线.

点 (0, −1) 到直线 y = k(x + 1) 距离的最大值为【】

若直线 l 与曲线 y = 和圆 x2 + y2 = 1/5 相切, 则 l 的方程为【】

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.

自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.

过点(1,2)且与直线2x + y - 1 = 0平行的直线方程是__________.

如果AC < 0，且BC < 0，那么直线Ax + By + C = 0不通过【】