已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时,该图像是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.
(Ⅰ)求x1,x2和xn的表达式;
(Ⅱ)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
(Ⅲ)证明:y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.
已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2⋯)时,该图像是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn }由f(xn)=n(n=1,2⋯)定义.
(Ⅰ)求x1,x2和xn的表达式;
(Ⅱ)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
(Ⅲ)证明:y=f(x)的图像与y=x的图像没有横坐标大于1的交点.
(Ⅰ)依题意f(0)=0,又由f(x1 )=1,当0≤y≤1时,函数y=f(x)的图像是斜率为b^0=1的线段,故由=1,得x1=1.又由f(x2 )=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图像是斜率为b的线段,故由=b即x2-x1=1/b得x2=1+1/b.记x_0=0由函数y=f(x)图像中第n段线段的斜率为bn-1,故得=bn-1又f(xn )=n,f(xn-1 )=n-1,∴xn-xn-1=(1/b)n-1,n=1,2⋯.由此知数列{xn-xn-1 }为等比数列,其首项为1,公比为1/b.因b≠1,得xn=(x_k-x_(k-1) ) =1+1/b+⋯+1/bn-1 =,即xn=.(Ⅱ)当0≤x≤1,从(Ⅰ)可知y=x,即当0≤x≤1是f(x)=x.当n≤y≤n+1时,即当xn≤x≤xn+1时,由(Ⅰ)可知f(x)=n+bn (x-xn ) (xn≤x≤xn+1,n=0,1,2,3⋯).为求函数f(x)的定义域,须对xn=(b-(1/b)n-1)/(b-1) (n=0,1,2,3⋯)进行讨论.当b>1时,xn= =b/(b-1);当0<b<1...
查看完整答案设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.
设N*表示正整数集,求所有的函数f:N* → N*,使得对任意正整数x,y,均有f(f(x)+y)整除x+f(y).
设函数f(x)=x2 + x + 1/2的定义域是[n,n+1]( n是自然数),那么f(x)的值域中共有______个整数.
已知映射f:A→B,其中,集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元函数是|a|则集合B中元素的个数是【 】
有甲、乙两人,甲所有银为乙之五倍,其后甲得30元,乙得80元,则甲所有为乙之二倍,问甲、乙原各有银几何?
由甲地至乙地,若每时行 32 丈,则比预定时间迟2小时可到,若每小时行 56 丈,则比预定时间早1小时可到,问依预定时间每时应行之速?
若a1,a2,⋯,an为已知正数,试求atctan(a1-a2)/(1+a1 a2)+atctan(a2-a3)/(1+a2 a3)+⋯+atctan(an-1-an)/(1+an-1 an)的值.
已知数列{an}满足:a1=1,a2=4,且an2 - an-1an+1=2n-1(n≥2,n∈N*),求a2020的个位数.
数列 {an} 满足 an+2 + (−1)nan = 3n − 1, 前 16 项和为 540, 则 a1 = ______.
数列 {an} 中, a1 = 2, am+n = aman , 若 ak+1 + ak+2 + · · · + ak+10 = 215 − 25, 则 k=【 】
设数列 {an} 满足 a1 = 3, an+1 = 3an − 4n.(1) 计算 a2, a3, 猜想 {an} 的通项公式并加以证明;(2) 求数列 {2nan} 的前 n 项和 Sn.
将数列 {2n − 1} 与 {3n − 2} 的公共项从小到大排列得到数列 {an}, 则 {an} 的前 n 项和为 __________.