大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年数列极限存在准则)

证明题（2012年上海交通大学）

对于正项数列{a_n}，如果有a_n+1/a_n=a,a>0，证明必有ⁿ√a_n=a.

答案解析

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讨论

数列极限存在准则

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

设函数f,g在[0,1]上连续，且存在包含于[0,1] 的数列{xn}，使得对于任意n≥1，有f(xn)= g(xn+1).证明：存在ξ∈[0,1],使得 f(ξ)=g(ξ).

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

设函数f∈C[0,1]，记In=f(tn )dt(n≥1)证明：(1) In 存在，并且等于f(1).(2) 若f'(0)存在，则In=f(0)+1/n (f(t)-f(0))/t dt+o(1/n)

江苏省数列极限存在准则

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

数列极限

求(1²+3²+⋯+(2n-1)²)/n³

已知正项级数an 收敛，数列{xn}满足|xn+1-xn |≤a_n,∀n≥1.证明：{xn}收敛.

浙江大学数列极限

设x1=1,xn+1=,n=1,2,3,⋯(1)证明：xn =0.(2)计算n(xn-ln⁡(1+xn)).

求极限：⁡n[(1²+3²+⋯+(2n+1)²)/n³ -4/3]

设数列{xn}有界，且(xn+1-xn)=0，令 m=xn ,M=xn,m<M证明：在区间(m,M)上任意一个数都是此数列的一个子列的极限.

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

计算 (1-x²)ndx

重庆大学数列极限

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

函数与极限

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

东北师范大学两个重要极限

设y=y(x)由方程y²-x+siny=0(x≥1)确定，且y=y(x)经过(π²,π).试讨论y(x)在(1,+∞)上零点的个数，并求y(x).

设f(x)在[a,b)上严格单调，xn∈(a,b)，证明：如果f(xn)=f(a)，则xn=a.

设f(x),g(x)在(-∞,+∞)上连续，且[f(x)-g(x)]=0.证明：f(x)在(-∞,+∞)上一致连续当且仅当g(x)在(-∞,+∞)上一致连续.

函数f(x)=|x|1/(1-x)(x-2)的第一类间断点的个数是【】

若((1+ax²)sinx-1)/x³=6，则a=______.

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.