大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2024年多元函数的极值)

填空题（2024年经济数学Ⅲ）

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y⁴+12x+24y的极值点是______.

答案解析

(1,1)

【解析】

解答过程见word 版

讨论

大学数学

5/(x4+3x2-4)dx__________.

当x→0时，((1+t²)sint²)/(1+cost²) dt与xk是等阶无穷小，则k=______.

随机变量X,Y相互独立，其X~N(0,2),Y~N(-1,1)，记p1={2X>Y},p2={X-2Y>1}，则【】

设随机变量X的概率密度为f(x)=，则X的三阶中心矩E(X-EX)³=【】

设矩阵A=,Mij表示A的i行j列元素的余子式.若|A|=-1/2，且-M21+M22-M23=0，则【】

设二次型f(x1,x2,x3 )=xT Ax在正交变换下可化成y1²-2y2²+3y3²，则二次型f的矩阵A的行列式值与迹分别为【】

设f(x,y)是连续函数，则dxf(x,y)dy=【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中θ∈(0,+∞)为未知参数，X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本，记X(n)=max⁡{X1,X2,⋯,Xn },Tc=cX(n)(1)求c，使得Tc是θ的无偏估计；(2)记h(c)=E(Tc-θ)²，求c使得h(c)最小.

多元函数微分法

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______

求f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.

设u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)由x=u+v+w,y=uv+uw+vw,z=uvw确定，求∂u/∂x,∂u/∂y,∂u/∂z.

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

已知函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y)=f(2x+y,3x-y)满足(∂² g)/(∂x² )+(∂² g)/∂x∂y-6 (∂² g)/(∂y² )=1.(1)求(∂² f)/∂u∂v;(2)若∂f(u,0)/∂u=ue^(-u),f(0,v)=1/50 v²-1，求f(u,v)的表达式.

设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且df|(1,1)=3du+4dv，令y=f(cosx,1+x²)，则d²y/dx²|x=0=______.

设函数z=z(x,y)由方程z+ex-yln(1+z²)=0确定，求(∂²z/∂x²+∂²z/∂y²)|(0,0).

已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是【】

多元函数的极值

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)（n是正整数）在条件x+y=a（x≥0,y≥0，常数a>0）下的极值.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

某产品的价格函数为p=，（p为单价，单位：万元；Q为产量，单位：件），总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).