高中数学-高考试题(全国统考 1991年基本不等式)

问答题（1991年全国统考）

已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式log_ax - 4log_a2x + 12log_a3x + ⋯ + n(-2)^n-1log_anx > (1-(-2)ⁿ)/3·log_a(x² - a).

答案解析

利用对数换底公式，原不等式左端化为loga x-4∙(loga x)/(loga a2 )+12∙(loga x)/(loga a3 )+⋯+n(-2)n-1∙(loga x)/(loga an ) =[1-2+4+⋯+(-2)n-1]loga x =(1-(-2)n)/3 loga x 故原不等式可化为(1-(-2)n)/3 loga x>(1-(-2)n)/3 loga (x2-a). ①当n为奇数时，(1-(-2)n)/3>0，不等式①等价于loga x>loga (x2-a). ②因为a>...

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讨论

高中数学

根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=-x3 + 1在(-∞,+∞)是减函数.

如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2.求点B到平面EFG的距离.

已知复数z=1+i，求复数(z2 - 3z + 6)/(z + 1)的模和辐角的主值.

求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合.

在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a.那么这个球面的面积是________.

在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，那么a=________.

已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于__________.

不等式 < 1的解集是__________.

arctan 1/3 + arctan 1/2的值是__________.

设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)=0}等于【】

基本不等式

已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中，大于1/2的个数的最大值是【】

对任意x，y，x2+y2-xy=1，则【】

若实数a,b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是【】

解不等式>x+a,(a>0)并就图说明之.

正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.

已知 a > 0, b > 0, 且 a + b = 1, 则【】

不等式(2-x)/(x+4)>0的解集是__________.

已知 a, b ∈ R, 则下列各式正确的是【】

已知 a, b ∈ R 且 ab ≠ 0, 若 (x − a)(x − b)(x − 2a − b) ⩾ 0 在 x ⩾ 0 上恒成立, 则【】

若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________.

不等式

若 x, y 满足约束条件则 z = x + 7y 的最大值为 __________.

若 x, y 满足约束条件 , 则 z = x + 2y 的最大值是__________.

若 x, y 满足约束条件, 则 z = 3x + 2y 的最大值是__________.

若实数x,y,m满足|x- m|>|y- m|，则称x比y远离m.(1) 若x2-1比1远离0，求x的取值范围;(2) 对于任意两个不相等的正数a,b.证明：a3+b3比a2b+ab2 远离 2ab;(3) 已知函数f(x) 的定义域 D={x|x≠kπ/2+π/4,k∈Z,x∈R}. 任取x∈D，f(x)等于sinx和 cosx中远离0的那个值，写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明).

关于实数x的不等式|x - (a+1)2/2| ≤ (a+1)2/2 与 x2 - 3(a+1)x + 2(3a+1)≤0(a∈R)的解集依次记为A和B，求使A⊆B的a的取值范围.

已知a,b,c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，则1/a+1/c≥3.

已知a,b,c为正数，且a3/2+b3/2+c3/2=1.证明：(1)abc≤1/9;(2) a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≤1/(2).

设a²+b²+c²=1,x²+y²+z²=1，证ax+by+cz≤1.

已知函数 f(x) = |3x + 1| − 2|x − 1|.(1) 画出 y = f(x) 的图像;(2) 求不等式 f(x) > f(x + 1) 的解集.

f(x) =| x − a2 |+ |x − 2a + 1| .(1) 当 a = 2 时, 求不等式 f(x) ⩾ 4 的解集.(2) f(x) ⩾ 4, 求 a 的取值范围.