高中数学-高考试题(全国统考 1983年椭圆)

问答题（1983年全国统考）

如图，已知椭圆长轴|A₁A₂ |=6，焦距|F₁F₂ |=4，过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M,N，设∠F₂F₁M=α（0≤α<π），当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

答案解析

以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系. 由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=2/3，中心到准线距离=9/4，焦点到准线距离p=/4.椭圆的极坐标方程为ρ== ∴...

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讨论

圆锥曲线

在双曲线x2/a2 -y2/b2 =1上意一点 P作切线交此双曲线之两渐近线(asymptotes)在于Q及 R，若 O 为此双曲线之中心,试求 △OQR 外接圆心之轨迹.

设有等边双曲线 (equilateral hyperbola) xy =1.今于其上取三点 A,B,C 联成三角形，而 A,B,C 之横标 (abscissa) 依次为 a,b,c.(1).求证过 △ABC 三顶点作向对边之垂线会于一点(2).求出三垂线之交点坐标，并证明此交点在双曲线上.

Show that the tangent to a hyperbola makes equal angles with the focal radii drawn to the point of tangency.

已知双曲线C:x²/a² -y²/b² =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上，点B在y轴上，(F1 A) ➝⊥(F1 B) ➝,(F2 A) ➝=-2/3 (F2 B) ➝，则C的离心率为________.

双曲线x2/9 - y2/16=1的两个焦点为F1,F2，点P在双曲线上。若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______.

点(3,0)到双曲线x2/16 - y2/9=1的一条渐近线的距离为【】

双曲线x2/4 - y2/5=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为______.

若双曲线y2-x2/m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________．

记双曲线C:x2/a2 -y2/b2 =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_________．

双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos⁡∠F1NF2=3/5，则C的离心率为【】

椭圆

已知椭圆方程x2/a2 +y2/b2 =1,F为右焦点，A为右顶点，B为上顶点，|BF|/|AB| =√3/2.(1)求椭圆的离心率e；(2)已知直线l与椭圆有唯一交点M，直线l交y轴于点N,|OM|=|ON|,∆OMN的面积为√3,求椭圆的标准方程.

定义椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的辅助圆为x2+y2=a2.考虑椭圆x2/4+y2/3=1，点H(a,0),0<a<2. 在第一象限内，过H平行于y轴的直线与椭圆交于点E，与椭圆的辅助圆交于点F，椭圆在点E处的切线与x轴正半轴交于点G，过原点和F的直线与x轴正半轴的夹角为φ.列Ⅰ 列Ⅱ(Ⅰ)若φ=π/4，则△FGH的面积为 (P) (√3-1)4/8(Ⅱ)若φ=π/3，则△FGH的面积为 (Q) 1(Ⅲ)若φ=π/6，则△FGH的面积为 (R) 3/4(Ⅳ)若φ=π/12，则△FGH的面积为 (S) 1/(2√3) (T) (3√3)/2正确的选项为【】

Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x² + 3y² = 14 at the point (1, 2).

设于椭圆上之 M(acosΦ,bsinΦ) 点，引与圆心 O之联线 OM，再由 M 点引正交于椭圆长轴之线 MP，复由 P引与 OM 正交之线 PQ.(1).求当 M 点沿圆线移动时 Q 点之轨迹.(2).讨论此轨迹之形状，并绘图以明之.

证明自椭圆二焦点至其任意切线之垂直距离，其乘积为一常数.

试求椭圆中诸平行弦之中点轨迹的方程式.

Find the locus of point which moves so that the sum of its distance from the points (-7, 4) and (9, 4) is always 20 units. Determine the center, foci, vertices,axis and eccentricity. Locate all points.

以(2,1)为焦点，直线3x-4y-5=0为准线，1/2为离心率的椭圆方程，求此椭圆主轴的长.

从一抛物线之焦点引各切线之垂线，试求其垂足之轨迹.

椭圆9x²+y²=9与直线4x+y+5=0是否相切? 并说明其理由.

平面解析几何

设向量 a = (1, −1), b = (m + 1, 2m − 4), 若 a ⊥ b, 则 m =______ .

△ABC 的内角为 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 B = 150◦.(1) 若 a = c, b = 2, 求 △ABC 的面积;(2) 若 sin A + sin C =/2 , 求 C.

己知单位向量 a, b 的夹角为 45°, ka − b 与 a 垂直, 则 k = ______.

△ABC 中, sin2A − sin2B − sin2C = sinBsinC.(1) 求 A;(2) 若 BC = 3, 求 △ABC 周长的最大值.

已知单位向量 a, b 的夹角为 60°, 则下列向量中, 与 b 垂直的是【】

在平面内, A, B 是两个定点, C 是动点. •= 1, 则点 C 的轨迹为【】

点 (0, −1) 到直线 y = k(x + 1) 距离的最大值为【】

若直线 l 与曲线 y = 和圆 x2 + y2 = 1/5 相切, 则 l 的方程为【】

已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点, 则• 的取值范围是【】

已知正方形 ABCD 的边长为 2, 点 P 满足 =1/2(+) ,则|| =______ ; · =______ .