大学数学-考研试题(上海交通大学 2012年函数项级数的一致收敛性)

判断题（2012年上海交通大学）

如果函数列{f_n(x)}在区间(a,c]和[c,b)上一致收敛，那么{f_n(x)}在(a,b)上一致收敛.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

若级数un² 和vn² 都收敛，则级数(un+vn )² 也收敛.

函数列{nx/(1+nx)}在(0,1)上一致收敛.

数列{n√n}(n=1,2,3,⋯)的最大项为5√5.

设{an}是一个数列，若在任一子列{ank}中均存在收敛子列{ankl}，则{an}必为收敛列.

设A为n阶复方阵，0为A的最小多项式m(λ)的r重根，r≥2为正整数.证明：(1)对任意的正整数k≥r,r(Ak )=r(Ar).(2) r(Ar )<r(Ar-1).

设A是n维欧氏空间V上的线性变换，在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A.证明：A为对称变换的充要条件是AT G=GA，其中G=(αi,αj )为基α1,α2,⋯,αn的度量矩阵.

设n元实二次型f(x1,x2,⋯,xn )=l1²+⋯+ls²-ls+1²-ls+t²，其中li=ai1 x1+ai2 x2+⋯+ain xn,aij∈R,i=1,2,⋯,s+t,j=1,2,⋯,n.证明：f(x1,x2,⋯,xn )的正惯性指数p≤s.

设多项式f(x)=xp+px+p-1，其中p为奇素数，证明：f(x)在有理数域上不可约.

设实矩阵A=(1)求A的若尔当标准形J.(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP=J.

设复二次型f(x1,x2,x3 )=2x1²+x2²-4x1 x2-4x2 x3求非退化线性变换X=CY，将二次型f(x1,x2,x3 )化为规范形，其中X=(x1,x2,x3 )T,Y=(y1,y2,y3 )T，并写出规范形.

函数项级数的一致收敛性

证明：当x>0时，ln√x=1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1 ，并讨论1/(2n-1) ((x-1)/(1+x))2n-1关于x∈(0,+∞)是否一致收敛.

设非负函数f(x)在[0,+∞)上连续，给出以下三个命题：①若f² (x)收敛，则f(x)收敛.②若存在p>1，使得xp f(x)存在，则f(x)收敛.③若f(x)收敛，则存在p>1，使得xp f(x)存在.其中真命题个数为【】

设函数f1 (x)在[0,1]上连续，K(x,y)在[0,1]×[0,1]上连续，对任意x∈[0,1]，定义fn+1(x)=K(x,y) fn (y)dy,n=1,2,⋯证明：函数列{fn (x)}在[0,1]上一致收敛于0.

讨论级数(-1)n/(1+x²)n 在(-∞,+∞)上的收敛性和一致收敛性.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

无穷级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

已知数列{an}(an≠0)，若{an}发散，则【】

已知幂级数anxn的和函数为ln⁡(2+x)，则na2n =【】

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

求级数sinnx/n!=________.

设级数an 绝对收敛，bn 收敛，且an =A,bn =B，令cn=a1bn+a2bn-1+⋯+an b1=akbn-k+1，则cn =AB.

设f(n)=a0+ak/nk ，且满足|a_k |≤M，这里n,k均为正整数，试证：数项级数f(n)收敛的充要条件为a0=a1=0.

求幂级数xn/(n(n+1))的和函数，并指出其定义域.

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.