大学数学-考研试题(浙江大学 2024年相似矩阵与方阵的对角化)

证明题（2024年浙江大学）

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

答案解析

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讨论

大学数学

已知矩阵A=的特征值λ对应的特征向量α=，求该矩阵的若当(Jordan)标准型.

求f(x)=x4+2x³-x²-4x-2,g(x)=x4+x³-x²-2x-2的最大公因式d(x)以及多项式u(x),v(x)，满足d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

假设A是2024阶方阵，主对角线上全是偶数，其余的都是奇数.证明：该矩阵为可逆矩阵.

假设R是实数域，实向量空间R³中两组向量分别为α1=(-1,1,0),α2=(2,-1,2),α3=(0,1,b)和β1=(1,0,-1),β2=(-1,1,1),β3=(1,1,c).(1)当b,c取何值时，不存在R³上的线性变换F，满F(αi )=βi,i=1,2,3.(2)当b,c取何值时，至少存在两个R³上的线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.(3)当b,c取何值时，存在R³上的唯一线性变换F，满足F(αi )=βi,i=1,2,3.这样的线性变换是正交变换吗？为什么？

设X=(x1,x2,x3,x4 ),XT是X的转置，问是否存在一次多项式ui (x)=ai x1+bi x2+ci x3+di x4 (i=1,2,3,4)满足XXT=并说明理由.

求线性方程组的基础解系，假设该方程组的一个解和另外一个解为k1+k2 的方程组有公共解，求出所有公共解.

假设5/11是整系数多项式f(x)的根，证明：f(√(-1))f(-√(-1))是正整数，且是146的倍数.

证明：1/T sinatcosbt/t dt=

西安交通大学

若f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界.

相似矩阵与方阵的对角化

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

任意置换方阵可复相似于对角阵。

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量，其中α≠0，假如存在V上的线性变换Γ，使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明：α,β,γ在V中线性无关.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换，证明：A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

设A是n阶非零矩阵，S是使得λA与λ相似的复数λ的集合，证明S是一个有限集.

特征值与正交计算

设A，B为2阶矩阵，且AB = BA，则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的【】

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

A=，则A的特征值为【】

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。