证明题(2024年阿里巴巴

对于实数T>0,称欧氏平面R²的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R²,存在w∈Γ满

足‖v-w‖≤T.设2阶整方阵A∈M2 (Z)满足det⁡(A)≠0.

(1)假设tr(A)=0.证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合

A^n Z²≔{An v:v∈Z² }

是C|de t⁡(A) |n/2-稠密的.

(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约.证明与(1)相同的结论.

注:这里R²和Z²中的向量约定为列向量,R²中的内积为标准内积,即〈v,w〉=vt w.

(提示:在对(2)的证明中,可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形:R²中以原点为中心且面积为4的任意闭平行四边形中总包含Z²中的非零向量.)

答案解析

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讨论

小明玩战机游戏. 初始积分为2. 在游戏进行中,积分会随着时间线性地连续减少(速率为每单位时间段扣除1)。游戏开始后,每隔一个随机时间段(时长为互相独立的参数为1的指数分布),就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时,小明立即进行操作,可以瞬间击落对方,或者瞬间被对方击落。如被敌机击落,则游戏结束。如小明击落敌机,则会获得1.5个积分,并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏,或者继续游戏。如选择继续游戏,则须等待到下一架敌机出现,中途不能主动退出。游戏的难度不断递增:出现的第n架敌机,小明击落对方的概率为(0.85)n,被击落的概率为1-(0.85)n,且与之前的事件独立。在任何时刻,如果积分降到0,则游戏自动结束。问题部分:(1) 如果游戏中,小明被击落后,其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化,小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2) 假设游戏中,小明被击落后,其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化,小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到0),下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有6座塔,它们的位置分別为A、B、C、D、E、F. 同学们自由行动一段时间后,每位同学都发现,自己在所在的位置只能看到位于A、B、C、D处的四座塔,而看不到位于E和F的塔,已知:(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点,且这些点彼此不重合;(2)A、B、C、D、E、F 中任意3点不共线;(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡,例如,如果某位同学所在的位置P和A、B共线,且A在线段PB上,那么该同学就看不到位于B处的塔.请问,这个旅游小组最多可能有多少名同学?

设函数f(x)连续可导,且f(0)=1,0<f'(x)<1/2.设{xn}满足:xn+1=f(n),(n=1,2,⋯),证明:(1)级数(xn+1-xn)绝对收敛.(2)xn存在,且0<xn <2.

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可微,且满足条件:0≤f(x)≤x/(1+x²)(0≤x<+∞)求证:存在ξ>0,使得f'(ξ)=(1-ξ²)/(1+ξ²)².

证明:函数项级数(-1)n/(x²+n)在区间x∈(-∞,+∞)上一致收敛.

讨论:当α>0时,函数f(x)=xα在区间[0,+∞)上的一致连续性.

设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成,Σ为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分:I=∬Σ(x²+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy

已知L是第一象限中点从点(0,0)沿圆周x²+y²-2x=0到点(2,0),再沿圆周x²+y²=4到点(0,2)的曲线段,计算I=∫L3x²ydydx+(x³+x-2y)dy

求圆锥体z≥与球体x²+y²+(z-1)²≤1所围立体的体积.

北京邮电大学反常积分的审敛法

设V是欧氏空间,W是V的子空间,V中的向量α不在W中,问是否存在α0∈W,使得α-α0与W的任意向量都正交?如果不存在,举出例子;如果存在,说明理由并讨论其唯一性.

设V是n维线性空间,φ为V上的线性变换,且φ的特征多项式为f(x)=(x-λ1 )m1(x-λ2 )m2(λ1≠λ2)其中m1+m2=n.(1)证明:Ker((φ-λ1 E)m1)是φ的不变子空间,其中E是恒等变换;(2)证明:V=Ker((φ-λ1 E)m1)⨁Ker((φ-λ2 E)m2).

设α,β,γ 是有理数域上线性空间V中的向量,其中α≠0,假如存在V上的线性变换Γ,使得Γα=β,Γβ=α,Γγ=α-β.证明:α,β,γ在V中线性无关.

已知A,B,C是有限维线性空间上的三个线性变换,证明:A+B-ACB和A+B-BCA在该空间是同构的.

设R³为带标准内积的3维欧氏空间,对R³的基α1=(-1,1,1),α2=(0,-1,1),α3=(0,0,1)进行Schmidt正交化得R³的标准正交基β1,β2,β3,则β3=________.

设A是n维复线性空间V上的线性变换,n>1,若An=0,且An-1≠0,则存在两个A的非平凡子空间U和W,使得V=U⨁W.

设A是n维欧氏空间V上的线性变换,在基α1,α2,⋯,αn下的矩阵为A.证明:A为对称变换的充要条件是AT G=GA,其中G=(αi,αj )为基α1,α2,⋯,αn的度量矩阵.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T,则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.