设A∈Rm×n,rankA=r，证明存在可逆矩阵M∈Rm×m及正交矩阵P∈Rn×n，使得
MAP=
其中Rm×n表示 m×n实数矩阵空间，Ir表示r×r单位矩阵，C∈Rr×(n-r)。
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设矩阵T=,T以及D可逆，证明(A-BD-1 C)-1存在，并求T-1，其中A,B,C,D为适当维度的矩阵。
设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.
设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆；(2)求AB-1.
设A为方阵，g(λ)是A的最小多项式，f(λ)为任意多项式.证明：f(A)可逆⇔(f(λ),g(λ))=1.
设4阶方阵A=，则A的逆矩阵A-1=____________.
设矩阵A=,E=，则逆矩阵(A-2E)-1=________.
给定方程x''+8x'+7x=f(t)，其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0，则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。
已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【 】
设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则=【 】
设A,B,C,D都是n×n矩阵，且|A|≠0,AC=CA，证明=|AD-CB|.
证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。
设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).
设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。
已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.
设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。
设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。
设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.
设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.
证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。