高中数学-高考试题(河北省 1977年微积分)

问答题（1977年河北省）

利用积分计算椭圆x²/a² +y²/b² =1(a>b>0)所围成的面积.

答案解析

因为椭圆x2/a2 +y2/b2 =1关于x轴和y轴都是对称的，所以所求面积为S=4y dx=4a/b dx.令x=asinθ(0≤θ≤π/2)，则==acosθ,dx=acosθdθ,∴S=4b/a...

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讨论

微积分

已知y=e-xsin2x，求微分dy.

不大于log2⁡(x3+1)dx+(2x-1)1/3dx的最大整数是______.

关于方程(lnx)1/2/(x[a-(lnx)1/2]2) dx=1,α∈(-∞,0)∪(1,+∞)，下列叙述正确的有【】

定义在全体实数上的连续函数f(x)满足下列条件：当n-1≤x<n时，|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|( n正整数)定义在开区间(0,4)上的函数g(x)=f(t)dt-f(t)dt.若g(x)在x=2处取得最小值0，则f(x)dx的值为【】

记曲线y=x3+x2,y=-x2+k(4<k<5)与y轴围成的面积为A，这两条曲线与直线x=2围成的面积为B，如图所示，若A=B，则k的值为【】

对于函数f(x)，已知f'(x)=4x3-2x，且f(0)=3，求f(2)的值.

河南省微积分

Find the area bounded by the curves.y = sinx of y = 1/2sinx between x = 0 and x = π.

工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器(上面开口)，使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5:2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮?(不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可)

河北省映射与函数

椭圆

设 P 为圆上之任意点，且 F 为一焦点，证明以 FP 及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切.

求一椭圆之垂直两切线之交点的轨迹

试证椭圆的二共轭直径与一准线所作之三角形之垂心为一定点.

设椭圆C1:x²/a² +y²=1(a>1),C2:x²/4+y²=1的离心率分别为e1,e2，若e2=√3e1，则a=【】

已知椭圆C:x²/3+y²=1的左、右焦点分别为F1,F2，直线y=x+m与C交于A,B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m=【】

已知 A, B 分别为椭圆 E : +y2 = 1(a > 1) 的左、右顶点, G 为 E 的上顶点, = 8, P 为直线 x = 6上的动点, PA 与 E 的另一交点为 C, PB 与 E 的另一交点为 D.(1) 求 E 的方程;(2) 证明: 直线 CD 过定点.

已椭圆 +y2 =1，圆x2 + y2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 设 M 是 C1 与 C2 的公共点. 若 |MF | = 5, 求 C1 与 C2 的标准方程.

已知椭圆 C1 : x2/a2 + y2/b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合. C1 的中心与 C2 的顶点重合,过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A, B 两点, 交 C2 于 C, D 两点. 且 |CD| = 4/3|AB|.(1) 求 C1 的离心率;(2) 若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12, 求 C1 与 C2 的标准方程.

己知椭圆 C : x2/25 + y2/m2 = 1 (0 < m < 5) 的离心率为 , A, B 分别为 C 的左、右顶点.(1) 求 C 的方程;(2) 若点 P 在 C 上, 点 Q 在直线 x = 6 上, 且 |BP| = |BQ|, BP⊥BQ, 求 △APQ 的面积.

导数与微分

函数 f(x) = x4 − 2x3 的图像在点 (1, f(1)) 处的切线方程为【】。

设函数 f(x) = x3 + bx + c, 曲线 y = f(x) 在点 (1/2 , f(1/2))处的切线与 y 轴垂直.(1) 求 b;(2) 若 f(x) 有一个绝对值不大于 1 的零点, 证明: f(x) 的所有零点的绝对值都不大于 1.

已知函数 f(x)=x3+klnx (k ∈ R) , f′(x) 为 f(x) 的导函数.(I) 当 k = 6 时,(i) 求曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程;(ii) 求函数 g(x)=f(x)+f'(x)+9/x 的单调区间和极值;(II) 当 k ⩾ −3 时, 求证: 对任意的 x1, x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2, 有f'(x1+x2)/2 > (f(x1 )-f(x2))/(x1-x2 ) .

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧的长为2/3AP，直线PC与直线AO交于点M.又知当AP=3π/4时，点P的速度为v，求这时点M的速度.

求极限(1-1/2x)x.

设y=xln(1+x2)，求y'.

已知函数f(x)=a(ex+a)-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明：当a>0时，f(x)>2lna+3/2.

已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为【】

若函数f(x)=alnx+b/x+c/x² (a≠0)既有极大值也有极小值，则【】

曲线 y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为 2, 则该切线的方程为 ________________.